భాజనీయతా సూత్రం: 7 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంత?

మనకు చాలానే బాజనీయతా సూత్రాలు తెలుసును.

సరిసంఖ్యలను (అంటే ఒకట్ల స్థానంలో 0,2,4,6,8 ఉన్నవి)  2 చేత భాగించవచ్చును - శేషం సున్న అని తెలుసును.
సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 0 కాని 5 కాని ఉంటే సంఖ్యను5 చేత భాగించగలం అని తెలుసును.
సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 3 చేత భాగించ గలిగితే ఆ సంఖ్యను 3 భాగిస్తుందని తెలుసును.
సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 9 చేత భాగించ గలిగితే ఆ సంఖ్యను 9 భాగిస్తుందని తెలుసును.
సంఖ్య చివరి రెండు  అంకెలు తీసుకొని 4 చేత, మూడు అంకెలు తీసుకొని 8 చేత భాజనీయత తెసుకో గలం.

కాని సాధారణంగా ఒక సంఖ్యను 7 చేత భాగించగలమా అన్నది ఎలా తెలుసుకోవటం అన్నదానికి సూత్రం ఏదీ ప్రచారంలో లేదు.

ఈ మధ్య అక్కడక్కడా ఈ విషయంపై కొన్ని సూత్రాలు చూసాను కాని అవి బాగోలేవు. కొన్నింటి కన్నా నేరుగా భాగహారం చేయటమే మంచిది అన్నంత చిరాగ్గా ఉన్నాయి.

సులభంగా ఉండే సూత్రం నేను మీకు వివరిస్తాను. ఈ సూత్రం ఏమిటంటే వేలనూ వందలనూ తొలగించటం. అదెలాగో వివరిస్తాను.

1001 అన్న సంఖ్యను తీసుకోండి. దీన్ని 7 చేత భాగించితే శేషం ఏమీ రాదు. ఎందుకంటే 1001 = 7 x 143 కాబట్టి.

ఇప్పుడు 5286 అన్న సంఖ్యను తీసుకుందాం.  1001 లో 7 నిశ్శేషంగా పోతుంది కాబట్టి 5005 లో కూడా నిశ్శేషంగా పోతుందని సులువుగానే అర్థం చేసుకోవచ్చును.

5286 ను 5005 + 281 ని విడదీయ వచ్చును కదా. అంటే వేల స్థానంలోని అంకెను ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెనుండి తీసివేయ వచ్చును. శేషంలో తేడా ఏమీ రాదు.

అంటే 5286ను 7 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంతో 281ని 7 చేత భాగించినా శేషం అంతే.

ఇది పట్టుకున్నారా?  లేకపోతే మరొకటి రెండు సార్లు ఈ వివరణను మరలా చదవండి.

ఈ వేలస్థానాన్ని మింగేసే టెక్నిక్ ఎంత పెద్దసంఖ్యపైన ఐనా సరే ప్రయోగించి వందల్లోనికి తెచ్చేయవచ్చును. అదెలాగో చూదాం.

62582364679 అని ఒక సంఖ్యను తీసుకుందాం. బాబోయ్ అంత పెద్ద సంఖ్యే అనకండి. తమాషా చూడండి.

22582364679 లో ఎడమవైపునుండి మొదలు పెట్టి 2258 వరకూ తీసుకుందాం. వేలస్థానంలోని 2ను ఒకట్ల స్థానంలోని 8నుండి తీసివేదాం. 2258 --> 2258 - 2 = 256 అని వచ్చింది కదా. ఇలా వేల స్థానం మాయం చేసిపారేసాం. ఇప్పుడు ఇచ్చిన 22582364679 లో 2258 బదులు 256 ఉంచితే 2562364679 ఐనది కదా.

ఈ 2562364679 పైన మళ్ళా ఇందాకటి ట్రీట్ మెంట్ ఇద్దాం. 2562 లో మొదటి 2 ని చివరి 2లోనుండి తీసివేదాం.

ఇప్పుడు మనదగ్గర ఉన్న సంఖ్య 560364679. ఇప్పుడు ఇచ్చిన 22582364679 నుండి ఎడమవైపు నుండి మొదటి రెండు స్థానాలూ దర్జాగా మింగేశాం చూడండి.

ఇలా మొత్తం సంఖ్యను కుదించుకుంటూ పోవటం వలన ఫలితం చూడండి

1. 22582364679 ని కుదిస్తే 2562364679
2. 2562364679 ని కుదిస్తే 560364679
3. 560364679 ని కుదిస్తే 60564679  (ఇక్కడ 3-5 బదులు 7+3-5 అని అనుకోండి)
4. 60564679ని కుదిస్తే 0504679
5. 504679 ని కుదిస్తే 04179
6. 4179 నికుదిస్తే 175

ఇలా ఇచ్చిన 22582364679 తీసుకొని 175గా కుదించేసాం. 175ని 7 చేత భాగిస్తే శేషం 0. 7 x 25  175 కాబట్టి. అందుచేత 22582364679 ని 7 చేత భాగించినా శేషం 0 వస్తుంది. వచ్చి తీరాలి. (నిజానికి 7 x 3226052097 = 22582364679  అవుతుంది)

అన్నట్లు ఒక్క ముఖ్యవిషయం. ఈ కుదింపులు చేసేటప్పుడు ఒకస్థానానికి పరిమితంగా పైన చూపినట్లే చేయనక్కరలేదు. వేలస్థానంలో అంకె కొట్టివేయగా ఏర్పడ్డ వందల్లోని సంఖ్య మొత్తం పరిగణనలోనికి తీసుకోవచ్చును. ఇది కొందరికి సహజంగానూ సులువుగానూ ఉండవచ్చును.

పైన  560364679 ని కుదిస్తే 60564679  (ఇక్కడ 3-5 బదులు 7+3-5 అని అనుకోండి) అన్నాం కాని 603-5= 986 అని కూడా కుందించవచ్చును. అలాగు కొనసాగిస్తే కుదింపులు ఇలా వస్తాయి.

59864679 నికుదిస్తే 9814679
9814679 ని కుదిస్తే 812679
812679 ని కుదిస్తే 12579
12579 ని కుదిస్తే 2569
2569 ని కుదిస్తే 567

పైన ఇచ్చిన కుదింపులన్నీ నిజంగా చాలా వేగంగా చేయవచ్చును.  కొంచెం అభ్యాసం చేసి చూడండి.

22582364679 
-2562364679 
--560364679
---60564679
----0504679
-----504679
------04179
-------4179
--------175

చూసారుగా. మీకూ ఇది సులువుగా తోస్తున్నదా లేదా? నిజానికి ఇలా నిలువుగా చూపినట్లు చేయనక్కర లేదు. ఎక్కడి కక్కడ తీసివేతలు చేస్తూ సులువుగా ఒకలైనులోనే చేసేయ వచ్చును.

ఇంక వందలను ఎలా తొలగించాలీ అన్నది చెప్పుకోవాలి. ఇది కూడా సులువే.

100 ని 2 చేత భాగిస్తే శేషం 2 వస్తుంది 100 = 7 x 14 + 2  కాబట్టి. అంటే ఇచ్చిన సంఖ్యలో ఎన్ని వందలు ఉన్నాయో అన్ని 2లు శేషం అన్నమాట.

ఇప్పుడు పైన ఉన్న 175ను తీసుకుందాం. ఇందులో వందలస్థానంలో ఉన్నది 1 కాబట్టి ఒకట్ల స్థానానికి 1 x 2 = 2 ను కలుపుదాం. వందల స్థానం వదిలేద్దాం.

175
-77

ఇప్పుడు మనకు వందలస్థానం కొట్టేస్తే 77 వచ్చింది. దీన్ని 7 భాగిస్తుందని సులువుగా తెలుసుకోవచ్చును కదా.

ఇలా మనం ఇచ్చిన సంఖ్యలోనుండి వేలూ ఆపైన స్థానాలు కొట్టి వేయాలి. ఆపైన వందలస్థానమూ కొట్టి వేయాలి. రెండంకెల సంఖ్య మిగులుతుంది.

ఏమిటీ?  రెండంకెల సంఖ్యను 7 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంతో సులువుగా ఎలా తెలుస్తుంది అంటున్నారా? హతోస్మి. 7వ ఎక్కం సరిగా రాదా?

పోనివ్వండి, దీనికీ ఒక సులువుంది.

పదుల స్థానంలో ఉన్న అంకెలో సగాన్ని ఒకట్ల స్థానంలోనుండి తీసేయండి. అంటే 43 అని ఉందనుకోండి 43లో ఒకట్ల స్థానం 4. దీన్లో సగం 2. 3 -2 = 1 కాబట్టి, శేషం 1 అన్నమాట.  ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉంటే సులువే కాని బేసి సంఖ్య ఉంటే అంటారా? ఫరవాలేదు 7ను కలుపుకోండి లేదా తీసెయ్యండి. ఉదాహరణకు 96ను 7 చేత భాగించితే శేషం ఎంతా అంటే 9లో సంగం అన్నా 9-7=2 లో సగం అన్నా సమానమే కాబట్టి 6-1=5శేషం. అలాగే 36ను 7 చేత భాగించవలసి వస్తే 3 కు బదులుగా 3+7=10ని సగం చేయండి అప్పుడు 6-5=1 శేషం అని సులువుగా చెప్పవచ్చును.

అసలు ఈ పదుల స్థానం తొలగించే టెక్నిక్ ఎంతపెద్ద సంఖ్యపైన ఐనా ప్రయోగించవచ్చును. మొదట ఇచ్చిన సంఖ్యనే చూదాం

22582364679  22 బదులుగా 2-2/2 = 1
-1582364679  15 బదులుగా 5-(7+1)/2 = 5-4 -1
--182364679  18 బదులుగా 8-4 =3
---42364679  42 బదులుగా 2 - 4/2 = 0
----0364679  ఎడమవైపు 0 అనవసరం.
-----364679  36 బదులుగా 6 - (3+7)/2 = 1
------14679  14 బదులుగా 4 - (7+1)/2 = 0
-------0679  ఎడమవైపు 0 అనవసరం.
--------679  67 బదులుగా 7 - 6/2 = 4
---------49  49 బదులుగా 9 - 4/2 = 7
----------7  ఒకట్ల స్థానంలో 7 కాని అంతకన్నా ఎక్కువున్నా 7 తీసేయవచ్చును.
----------0  శేషం.

ఐతే ఇలా ఎడమవైపు అంకెను సగం చేస్తూ తీసివేతలు చేయటం కొందరికి చిరాకు అనిపించవచ్చును. ఇదంతా మామూలు పద్దతిలో 7 చేత భాగహారంలా అనిపించవచ్చును.

కాని వేల స్థానాలమీద పని చేస్తున్నప్పుడు సగంచేసే పని లేదు కాబట్టి అలా చేయటం సులువుగా ఉంటుంది.