చెప్పుకోండి చూదాం - 2

ఐదుగురు మిత్రులు కలిసి పార్టీ చేసుకున్నారు. ఎందుకు అని అడక్కండి. మిత్రులు కలుసుకొని పార్టీ చేసుకోవటానికి కారణం అంటూ ఏదైనా ఉండాలి అనే నియమం ఏమీ లేదు కదా!

ఆ పార్టీలో ఒకరికొకరు  షేక్ హేండ్లు ఇచ్చుకున్నారు.

పార్టీలో పాల్గొన్న ప్రతీవాడూ తాను ముగ్గిరికే షేక్ హేండ్ ఇచ్చానని అంటున్నాడు.

కాని అలా జరగటం అసంభవం. వాళ్ళల్లో కనీసం ఒకరన్నా పొరపాటు పడటమో అబధ్ధం ఆడటమో జరిగింది.

ఐదుగురిలో ప్రతివాడూ సరిగ్గా ముగ్గురికే షేక్ హేండ్ ఇవ్వటం అనేది ఎందుకు అసంభవమో చెప్పగలరా?

(సమాధానం సోమవారం ఉదయం వస్తుంది. ఈలోపల మీమీ వివరణలు పంపండి. మీదే ఆలస్యం.)

చెప్పుకోండి చూదాం - 1 (సమాధానం)

ఇచ్చిన పజిల్

1.   3  V 1.5   =  4.5
2.   5  V 1.25  =  6.25
3.   6  V 1.2   =  7.2
4.  9 V 1.125 = 10.125
5.  11  V 1.1   = ?

దీనికి సమాధానం చూదాం ఇప్పుడు.

శర్మ గారు జిలేబీ గారు ప్రయత్నం చేసారు. ఒకరు కూడిక అన్నారు మరొకరు గుణకారం అన్నారు. ఈసందర్భంలో V గుణకారం చేసినా కూడినా సరే సమాధానం మొదటి నాలుగు సమీకరణాల్లోనూ సరిపోతోంది.

సమాధానం చివరి సమీకరణానికి 12.1 అన్నది సరిపోతుంది. మీరు కూడినా గుణించినా సరే ఎడమవైపున సంఖ్యలను సమాధానం మాత్రం అదే.

ఐతే ఈవిశేషాన్ని ఎవరూ సరిగా గమనించనే లేదు త్వరగా. ఇంక దాని గురించి ఎవరూ వివరించే ప్రయత్నం మాత్రం ఎవరూ ఎందుకు చేయలేదన్న ప్రశ్న వేసుకోవటం అనవసరం.

ఐతే ఇలా ఎందుకు జరుగుతున్నదీ అన్నదానికి ఒక వివరణ ఉన్నది. n విలువ 1 కాని పక్షంలో

 

ఈ తమాషా సమీకరణమే పైన ఇచ్చిన పజిల్ తాలూకు విలువలకు మూలం.  మీకు చూపిన ఉదాహరణల్లో V  గుర్తును ఉపయోగించి వ్రాసినప్పుడు ఆగుర్తుకు ఎడమ కుడి వైపుల ఉన్న సంఖ్యలు పైన ఇచ్చిన సమీకరణం ఆధారంగా ఏర్పడ్డవి అన్నమాట.

మనం  n = 3 అనితీసుకుంటే ఎడమవైపున  ఉన్న సంఖ్య 3, V కి కుడివైపున ఉన్నది 3/(3-1) = 1.5. ఈ రెండు విలువలను మనం కూడినా గుణించినా విలువ ఒక్కటే  అది 9/2 = 4.5

చూపిన సమీకరణాల కన్న చిన్నది ఒకటుంది. n = 2 అనే విలువతో ఏర్పడేది.  n = 2, V కి కుడివైపున ఉన్నది 2/(2-1)= 2. 2 V 2 = 4 అంతే కదా, రెండును రెండుతో గుణించినా కూడినా మనకు నాలుగే కదా వచ్చేది!

ఒక చిన్న విషయం. మనం ధనాత్మకసంఖ్యలతోనే కాక ఋణాత్మకసంఖ్యలతోనూ ఇలా చేయవచ్చును. n = -3 అని తీసుకుంటే V కి కుడివైపున ఉన్నది -3/(-3-1) = -3/-4 = 3/4 = 0.75. మనం -౩ కు   0.75 ను కలిపినా గుణించినా వచ్చేది -2.25 అన్న సమాధానమే.

n = 0 అన్నది మాత్రం గణితపరంగా అసంభావ్యం. ఎందుకంటే1/0 అనేది అనంతం. దీన్ని ∞ అనే గుర్తుతో సూచిస్తారు. అనంతం అనే భావనను అంకగణితం చేయటం కోసం వినియోగించరాదు. అది గణితపరంగా నిర్వచించటానికి వీలుకాని వ్యవహారం కాబట్టి.

ఇప్పుడు అంతా అందరికీ అవగతం ఐనదని భావిస్తాను.

చెప్పుకోండి చూదాం - 1

ఈమధ్య కష్టేఫలీ శర్మగారు మంచి పజిల్స్ ఇస్తున్నారు.

చాలా బాగుంది.

నేనూ ఒక చిన్న పజిల్ ఇస్తాను.  (మంచి రెస్పాన్స్ వస్తే మరిన్ని మంచి పజిల్స్ ఇస్తాను. ఇక పాఠకుల ఇష్టం మరి)

1.   3  V 1.5   =  4.5
2.   5  V 1.25  =  6.25
3.   6  V 1.2   =  7.2
4.   9  V 1.125 = 10.125
5.  11  V 1.1   = ?

ఇప్పుడు  సమాధానం చెప్పండి మూడు విషయాలకు.  

1. చివర ? అని ఇచ్చిన చోట ఉండవలసిన సంఖ్య ఏమిటి?
2. అసలు ఇక్కడ  ఎడమవైపున ఉన్న సంఖ్యల మధ్య జరుగుతున్నది ఈ V ఏమిటి?
3. ఇక్కడొక తమాషా ఏదన్నా గమనించారా?

ఇక మీదే ఆలస్యం.

భాజనీయతా సూత్రం: 7 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంత?

మనకు చాలానే బాజనీయతా సూత్రాలు తెలుసును.

సరిసంఖ్యలను (అంటే ఒకట్ల స్థానంలో 0,2,4,6,8 ఉన్నవి)  2 చేత భాగించవచ్చును - శేషం సున్న అని తెలుసును.
సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలో 0 కాని 5 కాని ఉంటే సంఖ్యను5 చేత భాగించగలం అని తెలుసును.
సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 3 చేత భాగించ గలిగితే ఆ సంఖ్యను 3 భాగిస్తుందని తెలుసును.
సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 9 చేత భాగించ గలిగితే ఆ సంఖ్యను 9 భాగిస్తుందని తెలుసును.
సంఖ్య చివరి రెండు  అంకెలు తీసుకొని 4 చేత, మూడు అంకెలు తీసుకొని 8 చేత భాజనీయత తెసుకో గలం.

కాని సాధారణంగా ఒక సంఖ్యను 7 చేత భాగించగలమా అన్నది ఎలా తెలుసుకోవటం అన్నదానికి సూత్రం ఏదీ ప్రచారంలో లేదు.

ఈ మధ్య అక్కడక్కడా ఈ విషయంపై కొన్ని సూత్రాలు చూసాను కాని అవి బాగోలేవు. కొన్నింటి కన్నా నేరుగా భాగహారం చేయటమే మంచిది అన్నంత చిరాగ్గా ఉన్నాయి.

సులభంగా ఉండే సూత్రం నేను మీకు వివరిస్తాను. ఈ సూత్రం ఏమిటంటే వేలనూ వందలనూ తొలగించటం. అదెలాగో వివరిస్తాను.

1001 అన్న సంఖ్యను తీసుకోండి. దీన్ని 7 చేత భాగించితే శేషం ఏమీ రాదు. ఎందుకంటే 1001 = 7 x 143 కాబట్టి.

ఇప్పుడు 5286 అన్న సంఖ్యను తీసుకుందాం.  1001 లో 7 నిశ్శేషంగా పోతుంది కాబట్టి 5005 లో కూడా నిశ్శేషంగా పోతుందని సులువుగానే అర్థం చేసుకోవచ్చును.

5286 ను 5005 + 281 ని విడదీయ వచ్చును కదా. అంటే వేల స్థానంలోని అంకెను ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెనుండి తీసివేయ వచ్చును. శేషంలో తేడా ఏమీ రాదు.

అంటే 5286ను 7 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంతో 281ని 7 చేత భాగించినా శేషం అంతే.

ఇది పట్టుకున్నారా?  లేకపోతే మరొకటి రెండు సార్లు ఈ వివరణను మరలా చదవండి.

ఈ వేలస్థానాన్ని మింగేసే టెక్నిక్ ఎంత పెద్దసంఖ్యపైన ఐనా సరే ప్రయోగించి వందల్లోనికి తెచ్చేయవచ్చును. అదెలాగో చూదాం.

62582364679 అని ఒక సంఖ్యను తీసుకుందాం. బాబోయ్ అంత పెద్ద సంఖ్యే అనకండి. తమాషా చూడండి.

22582364679 లో ఎడమవైపునుండి మొదలు పెట్టి 2258 వరకూ తీసుకుందాం. వేలస్థానంలోని 2ను ఒకట్ల స్థానంలోని 8నుండి తీసివేదాం. 2258 --> 2258 - 2 = 256 అని వచ్చింది కదా. ఇలా వేల స్థానం మాయం చేసిపారేసాం. ఇప్పుడు ఇచ్చిన 22582364679 లో 2258 బదులు 256 ఉంచితే 2562364679 ఐనది కదా.

ఈ 2562364679 పైన మళ్ళా ఇందాకటి ట్రీట్ మెంట్ ఇద్దాం. 2562 లో మొదటి 2 ని చివరి 2లోనుండి తీసివేదాం.

ఇప్పుడు మనదగ్గర ఉన్న సంఖ్య 560364679. ఇప్పుడు ఇచ్చిన 22582364679 నుండి ఎడమవైపు నుండి మొదటి రెండు స్థానాలూ దర్జాగా మింగేశాం చూడండి.

ఇలా మొత్తం సంఖ్యను కుదించుకుంటూ పోవటం వలన ఫలితం చూడండి

1. 22582364679 ని కుదిస్తే 2562364679
2. 2562364679 ని కుదిస్తే 560364679
3. 560364679 ని కుదిస్తే 60564679  (ఇక్కడ 3-5 బదులు 7+3-5 అని అనుకోండి)
4. 60564679ని కుదిస్తే 0504679
5. 504679 ని కుదిస్తే 04179
6. 4179 నికుదిస్తే 175

ఇలా ఇచ్చిన 22582364679 తీసుకొని 175గా కుదించేసాం. 175ని 7 చేత భాగిస్తే శేషం 0. 7 x 25  175 కాబట్టి. అందుచేత 22582364679 ని 7 చేత భాగించినా శేషం 0 వస్తుంది. వచ్చి తీరాలి. (నిజానికి 7 x 3226052097 = 22582364679  అవుతుంది)

అన్నట్లు ఒక్క ముఖ్యవిషయం. ఈ కుదింపులు చేసేటప్పుడు ఒకస్థానానికి పరిమితంగా పైన చూపినట్లే చేయనక్కరలేదు. వేలస్థానంలో అంకె కొట్టివేయగా ఏర్పడ్డ వందల్లోని సంఖ్య మొత్తం పరిగణనలోనికి తీసుకోవచ్చును. ఇది కొందరికి సహజంగానూ సులువుగానూ ఉండవచ్చును.

పైన  560364679 ని కుదిస్తే 60564679  (ఇక్కడ 3-5 బదులు 7+3-5 అని అనుకోండి) అన్నాం కాని 603-5= 986 అని కూడా కుందించవచ్చును. అలాగు కొనసాగిస్తే కుదింపులు ఇలా వస్తాయి.

59864679 నికుదిస్తే 9814679
9814679 ని కుదిస్తే 812679
812679 ని కుదిస్తే 12579
12579 ని కుదిస్తే 2569
2569 ని కుదిస్తే 567

పైన ఇచ్చిన కుదింపులన్నీ నిజంగా చాలా వేగంగా చేయవచ్చును.  కొంచెం అభ్యాసం చేసి చూడండి.

22582364679 
-2562364679 
--560364679
---60564679
----0504679
-----504679
------04179
-------4179
--------175

చూసారుగా. మీకూ ఇది సులువుగా తోస్తున్నదా లేదా? నిజానికి ఇలా నిలువుగా చూపినట్లు చేయనక్కర లేదు. ఎక్కడి కక్కడ తీసివేతలు చేస్తూ సులువుగా ఒకలైనులోనే చేసేయ వచ్చును.

ఇంక వందలను ఎలా తొలగించాలీ అన్నది చెప్పుకోవాలి. ఇది కూడా సులువే.

100 ని 2 చేత భాగిస్తే శేషం 2 వస్తుంది 100 = 7 x 14 + 2  కాబట్టి. అంటే ఇచ్చిన సంఖ్యలో ఎన్ని వందలు ఉన్నాయో అన్ని 2లు శేషం అన్నమాట.

ఇప్పుడు పైన ఉన్న 175ను తీసుకుందాం. ఇందులో వందలస్థానంలో ఉన్నది 1 కాబట్టి ఒకట్ల స్థానానికి 1 x 2 = 2 ను కలుపుదాం. వందల స్థానం వదిలేద్దాం.

175
-77

ఇప్పుడు మనకు వందలస్థానం కొట్టేస్తే 77 వచ్చింది. దీన్ని 7 భాగిస్తుందని సులువుగా తెలుసుకోవచ్చును కదా.

ఇలా మనం ఇచ్చిన సంఖ్యలోనుండి వేలూ ఆపైన స్థానాలు కొట్టి వేయాలి. ఆపైన వందలస్థానమూ కొట్టి వేయాలి. రెండంకెల సంఖ్య మిగులుతుంది.

ఏమిటీ?  రెండంకెల సంఖ్యను 7 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంతో సులువుగా ఎలా తెలుస్తుంది అంటున్నారా? హతోస్మి. 7వ ఎక్కం సరిగా రాదా?

పోనివ్వండి, దీనికీ ఒక సులువుంది.

పదుల స్థానంలో ఉన్న అంకెలో సగాన్ని ఒకట్ల స్థానంలోనుండి తీసేయండి. అంటే 43 అని ఉందనుకోండి 43లో ఒకట్ల స్థానం 4. దీన్లో సగం 2. 3 -2 = 1 కాబట్టి, శేషం 1 అన్నమాట.  ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య ఉంటే సులువే కాని బేసి సంఖ్య ఉంటే అంటారా? ఫరవాలేదు 7ను కలుపుకోండి లేదా తీసెయ్యండి. ఉదాహరణకు 96ను 7 చేత భాగించితే శేషం ఎంతా అంటే 9లో సంగం అన్నా 9-7=2 లో సగం అన్నా సమానమే కాబట్టి 6-1=5శేషం. అలాగే 36ను 7 చేత భాగించవలసి వస్తే 3 కు బదులుగా 3+7=10ని సగం చేయండి అప్పుడు 6-5=1 శేషం అని సులువుగా చెప్పవచ్చును.

అసలు ఈ పదుల స్థానం తొలగించే టెక్నిక్ ఎంతపెద్ద సంఖ్యపైన ఐనా ప్రయోగించవచ్చును. మొదట ఇచ్చిన సంఖ్యనే చూదాం

22582364679  22 బదులుగా 2-2/2 = 1
-1582364679  15 బదులుగా 5-(7+1)/2 = 5-4 -1
--182364679  18 బదులుగా 8-4 =3
---42364679  42 బదులుగా 2 - 4/2 = 0
----0364679  ఎడమవైపు 0 అనవసరం.
-----364679  36 బదులుగా 6 - (3+7)/2 = 1
------14679  14 బదులుగా 4 - (7+1)/2 = 0
-------0679  ఎడమవైపు 0 అనవసరం.
--------679  67 బదులుగా 7 - 6/2 = 4
---------49  49 బదులుగా 9 - 4/2 = 7
----------7  ఒకట్ల స్థానంలో 7 కాని అంతకన్నా ఎక్కువున్నా 7 తీసేయవచ్చును.
----------0  శేషం.

ఐతే ఇలా ఎడమవైపు అంకెను సగం చేస్తూ తీసివేతలు చేయటం కొందరికి చిరాకు అనిపించవచ్చును. ఇదంతా మామూలు పద్దతిలో 7 చేత భాగహారంలా అనిపించవచ్చును.

కాని వేల స్థానాలమీద పని చేస్తున్నప్పుడు సగంచేసే పని లేదు కాబట్టి అలా చేయటం సులువుగా ఉంటుంది.

సంఖ్యాశాస్త్రంలో 9 చాలా విశిష్టమైన సంఖ్య అన్నది నిజమేనా? ముగింపు

గత టపాలో మనం సంఖ్యాశాస్త్రంలో 9 అనేది ఒక విశిష్ఠమైన సంఖ్యా అన్నది పరిశీలించాం.

మనం సంఖ్యలను వ్రాయటానికి వాడే దశాంకమానం కారణంగా ఆమానం యొక్క అవధి 10 కి ఒకటి తక్కువ ఐన 9 సంఖ్యకు కల రెండు ప్రత్యేక లక్షణాలను గమనించాం.

1. ఏ సంఖ్యనైనా సరే 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఆ సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషానికి సమానం అవుతుంది.
2. ఏ సంఖనైనా సరే 9 చేత గుణిస్తే ఆసంఖ్య కూడా అప్పుడు 9 యొక్క గుణిజమే అవుతుంది కాబట్టి పై సూత్రం దానికి వర్తించి అందులోని అంకెల మొత్తం కూడా 9 కాని దాని గుణిజం కాని అవుతుంది.

మనం వాడే అంకెలు 0 నుండి 9 వరకూ 10 అంకెలు. వీటి సహాయంతో మనం స్థానాలకు విలువలు ఆపాదించటం అనే ప్రక్రియద్వారా ఎంత పెద్ద సంఖ్యనైనా వ్రాయగలుగుతున్నాం.

ఉదాహరణకు 3629 అన్నామంటే 3 x 1000 + 6 x 100 + 2 x 10 + 9  అని కదా అర్థం.
మరికొంచెం గణితశాస్త్రపరంగా వ్రాయాలంటే 3629ని ఇలా వ్రాస్తాం:

  3 x 10 ³ + 6 x 10 ² + 2 x 10 ¹ +  9 x 10 ⁰  = 3629

అవునూ మనం అసలు సంఖ్యలను 10యొక్క స్థానాల విలువలతో ఎందుకు వ్రాస్తున్నాం అన్న ప్రశ్న వస్తుంది.  మనం అలా అలవాటుపడిపోయాం అన్నది సులభమైన జవాబు. నిజం ఏమిటంటే మన రెండుచేతులకూ కలిపి పదివేళ్ళున్నాయి కదా. అందుకని పదిదాకా వేళ్లమీద ఎలాగూ లెక్కించటం చేయవచ్చును సులువుగా. అపైన లెక్కించటానికి పదుల సహాయంతోనే ఒక పద్ధతి ఏర్పాటు చేసుకున్నాం అన్నమాట,

అన్నట్లు 0 నుండి 9 వరకూ ఉన్న గుర్తుల్ని మనం అంకెలు అంటాం కదా, ఇంగ్లీషులో డిజట్‍స్ అంటారు. డిజిట్ అంటే అంకె అనే కాదు చేతి వేలు అనే అర్థమూ ఉంది!

కొంచెం అలోచిస్తే అంకెల్ని కేవలం 10యొక్క ఆధారంతోనే వ్రాయాలన్న నియమం ఏమీ లేదు. సుబ్బరంగా మరొక సంఖ్య ఆధారంగా కూడా వ్రాయవచ్చును. ఐతే అలా రాస్తే కొంచెం తమాషాగా ఉంటాయి కొత్తగా చూసేసరికి.

కంప్యూటరు శాస్త్రజ్ఞులం ఆమధ్యకాలందాకా 8 ఆధారంగా సంఖ్యలను వాడే వాళ్ళం. అంటే మనం సంఖ్యలను 0..7 అంకెల సాయంతో వ్రాస్తామన్నమాట. ప్రతి స్థానమూ తనకన్న కుడివైపున ఉన్న స్థానానికి ఎనిమిది రెట్లు విలువ కలిగి ఉంటుంది.

ముందుగా ఒక చిన్న పని చేదాం. ఆధారసంఖ్యనూ అసలు సంఖ్యతో పాటు చూపుదాం 100 ₁₀ అంటే 10 అధారంగా 100 అనే సంఖ్య అన్నట్లు. అధారం 10 ఐనప్పుడు ఆ పదిని క్రింద చూపనవసరం లేదు.

ఈ 100 ₁₀  లేదా 100 అనే సంఖ్యను 8 అధారంగా వ్రాస్తే 144 ₈ అవుతుంది! (ఈ సంఖ్యల్ని ఆక్టాల్ సంఖ్యలంటాం)

ఎందుకంటే 1 x 8³ + 4 x 8² + 4 x 8⁰ =  64 + 36 + 4 =100 కాబట్టి!

ఎనిమిది ఆధారంగ కల అంకెలు అంటే అష్టాంకమానంలో వ్రాసిన సంఖ్యల్లో 7 అనే సంఖ్యకు ఎటువంటి ప్రవర్తన ఉందో చూదాం.

28₁₀  ని అష్టాంక మానంలో వ్రాస్తే 34 ₈ అవుతుంది! ఇప్పుడు 3+4=7
77₁₀  ని అష్టాంక మానంలో వ్రాస్తే 115 ₈ అవుతుంది! ఇప్పుడు 1+1+5=7
63₁₀  ని అష్టాంక మానంలో వ్రాస్తే 77 ₈ అవుతుంది! ఇప్పుడు 7+7=16 ₈, 1+6 =7

అంటే అష్టాంకమానంలో 8-1=7 చేత భాగించబడే సంఖ్యల్లో అంకెల మొత్తం 7 కాని దాని గుణిజం కాని అవుతుంది!

ఇప్పుడు సప్తాంక మానం సంగతి చూదాం. అంటే మనం సంఖ్యలను 0..6 అంకెల సాయంతో వ్రాస్తామన్నమాట. ప్రతి స్థానమూ తనకన్ను కుడివైపున ఉన్న స్థానానికి ఏడు రెట్లు విలువ కలిగి ఉంటుంది.

ఏడు ఆధారంగా కల అంకెలు అంటే సప్తాంక మానంలో వ్రాసిన సంఖ్యల్లో 6 అనే సంఖ్యకు ఎటువంటి ప్రవర్తన ఉందో చూదాం

12₁₀  ని సప్తాంక మానంలో వ్రాస్తే 15₇ అవుతుంది! ఇప్పుడు 1+5 = 6
36₁₀  ని సప్తాంక మానంలో వ్రాస్తే 51 ₇ అవుతుంది! ఇప్పుడు 5+1 = 6
126₁₀  ని సప్తాంక మానంలో వ్రాస్తే 240 ₇ అవుతుంది! ఇప్పుడు 2+4+0 = 6
48₁₀  ని సప్తాంక మానంలో వ్రాస్తే 66₇ అవుతుంది! ఇప్పుడు 6+6 = 15 ₇, 1+5 = 6

అంటే సప్తాంక మానంలో 7-1=6 చేత భాగించబడే సంఖ్యల్లో అంకెల మొత్తం 6 కాని దాని గుణిజం కాని అవుతుంది!

ఇప్పుడు అందరికీ అర్థం ఐనది అనుకుంటాను ప్రతి అంకమానం లోను మానసంఖ్యకన్నా ఒకటి తక్కువ సంఖ్యకు దశాంకమానంలో 9 కి ఉన్నదిగా కనిపించే లక్షణమే ఉంటుందని స్పష్టం అని.

కాబట్టి సంఖ్యాశాస్త్రంలో అన్న గంభీరమైన ప్రసక్తి తీసుకొని వచ్చినప్పుడు 9 కి ఏవో అద్భుత శక్తులున్నాయని అనుకోవటం వట్టి భ్రమ అని చెప్పక తప్పదు.

సంఖ్యాశాస్త్రంలో 9 చాలా విశిష్టమైన సంఖ్య అన్నది నిజమేనా?

హరికాలం బ్లాగులోని  కొత్తటపా వేదాల్లో సైన్సు లేదా?మోడరన్ సైన్సు వేదాల్లో తప్పులున్నాయని నిరూపించగలదా?  అన్నదానిలో ఈ క్రింది సంగతి కనిపించింది.

సంఖ్యాశాస్త్రంలో 9 చాలా విశిష్టమైన సంఖ్య.

9 x 1 = 9
9 x 2 = 18, 1 + 8 = 9
9 x 3 = 27, 2 + 7 = 9
9 x 4 = 36, 3 + 6 = 9
9 x 5 = 45, 4 + 5 = 9
9 x 6 = 54, 5 + 4 = 9
9 x 7 = 63, 6 + 3 = 9
9 x 8 = 72, 7 + 2 = 9
9 x 9 = 81, 8 + 1 = 9
9 x 10=90, 9 + 0 = 9
9 x 11=99, 9 + 9 = 18, 1 + 8 = 9
9 x 12 = 108

నిజానికి 9 అనే అంకెకు ఏ ప్రత్యేకతా లేదు.

ఉందనిపించటం అంతా మన భ్రమ మాత్రమే.  ఈ భ్రమను గురించి వివరంగా చెప్తే కాని ఒకపట్టాన అర్థం కాదు చాలామందికి. అందుచేత ఆ బ్లాగులో ఈవిషయకంగా ఏవ్యాఖ్యనూ వ్రాయలేదు. అదీ కాక వ్యాఖ్యలను వేయటం పట్ల (ప్రస్తుతం?) నాకు విముఖత మెండుగా ఉంది కాబట్టి ఎలాగూ వ్యాఖ్యను ఉంచే ప్రసక్తీ లేదు.

అందుచేత విపులంగా ఈ భ్రమను గురించి ఈటపాలో చర్చిస్తాను.

అసలు సంగతిని వివరించటానికి ముందుగా మరొక విషయం పైన పాఠకులకు అవగాహన కల్పించవలసిన అవసరం చాలా ఉంది.

కూడికలూ తీసివేతలూ గుణకారాలూ మనం రెండు సంఖ్యల మధ్యన నిర్వహిస్తే మరొక సంఖ్య ఫలితంగా వస్తుంది.

ఉదాహరణ: 5 + 3 =  8, 5 - 3 =  2, 5 x 3 = 15

ఒక్క భాగహారం విషయంలో ఒక తమాషా ఉంది. భాగహారం వలన రెండు ఫలితాలు వస్తాయి. ఒకటి భాగఫలం, రెండవది శేషం.

ఉదాహరణః 5 / 3 = 1. ఈ 1 అనేది భాగఫలం. శేషం 2

మనం ఈ శేషాల గురించి మరి కొంచెం అవగాహన కలిగించుకోవాలి ఇక్కడ.  ఇది కూడా ఒక ఉదాహరణ ద్వారా వివరిస్తాను.

17 + 13 =  30
17  - 13 =    4
17 x 13 = 221

ఇప్పుడు మనం పై సంఖ్యలకు బదులు వాటిని 7తో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలను ఉపయోగించి తిరిగి ప్రయత్నిద్దాం.

3 + 6  = 9 = 2  (9లోనుండి 7 తీసివేయాలి శుభ్రంగా)
3  - 6  = -3 = 4  (-3 ఋణసంఖ్య కాబట్టి 7 కలపాలిక్కడ)
3 x 6  = 18 = 4  (18ని మళ్ళా 7చే భాగించి శేషం తీసుకున్నాం)

ఇప్పుడు మొదట అసలు సంఖ్యలతో చేసిన లెక్కల ఫలితాలనూ 7చే భాగిస్తే వచ్చే శేషాలుగా మారిస్తే 30 = 2, 4 = 4, 221 = 4.

అంటే మనం గణితాన్ని సంఖ్యలతో చేసినా ఏదైనా ఒక సంఖ్యతో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలతో చేసినా మన కూడికలూ వగైరా సరిగ్గానే వస్తాయి.

ఈ తమాషా వలన ఒక ప్రయోజనం ఉందని గమనించండి.

మా చిన్నప్పుడు మానాన్నగారు ఈ సుళువును ఉపయోగించటం చూసాను. ఆయన ఎలా వాడేవారో అంటే ఒక ఉదాహరణ చూపుతాను.

152863 ను 93821 తో గుణిస్తే  ఫలితం  14341759523 అని రావాలి.

ఐతే ఆరోజుల్లో కాలిక్యులేటర్లూ వగైరాలు లేవు. చేత్తో గుణించవలసిందే. ఎక్కడైనా పొరపాటు జరిగే అవకాశం తప్పకుండా ఉంది. ఉదాహరణకు మనకు ఫలితం 14341756523 అని వచ్చింది అనుకుందాం. తప్పా ఒప్పా ఎలా సులువుగా తెలుసుకోవటం అంటే దానికి మానాన్నగారి చిట్కా చూడండి

152863 లోని అంకెల మొత్తం 1+5+2+8+6+3 = 25 = 2+5 = 7
93821  లోని అంకెల మొత్తం 9+3+8+2+1 = 23 = 2+3 = 5

అంకెలమొత్తం ఏకాంకం చేయటం అంటే ఇష్టసంఖ్యను తొమ్మిదితో భాగించి శేషం తీసుకోవటమే!  ఈ సూత్రం ఎందుకు ఎలా పనిచేస్తున్నదీ అన్నవిషయం కొద్ది సేపటి తరువాత చూదాం.

ఇప్పుడు గుణకారాన్ని ఈశేషాలతో చేదాం

7 x 5 = 35 = 3 +5 = 8

మనకు అసలు గుణకారంలో ఫలితంగా వచ్చిన సంఖ్యను తొమ్మిదితో భాగిస్తే ఏమి వస్తోందో చూదాం.

14341756523  = 1+4+3+4+1+7+5+6+5+2+3  = 41 = 4+1 = 5

మనగుణకారం తప్పు. మనకు 8 కదా రావలసింది!!

మళ్ళా మరొకసారి సరిగ్గా గుణకారం చేసుకుందాం. ఇప్పుడు మనకు  వచ్చిన ఫలితం 14341759523

దీన్ని మరలా పరిశీలిద్దాం.

14341759523  = 1+4+3+4+1+7+5+9+5+2+3 = 44 = 4 + 4 = 8

ఆఁ. ఇప్పుడు సరిపోయింది కదా.

మన గుణకారం సరిగ్గా ఉండే అవకాశం హెచ్చు.

(హెచ్చు అన్నానే కాని గుణాకారం సరిగ్గా ఉందని అనలేదు. మన మొదటి ఫలితంలో ఒకటికంటే ఎక్కువ అంకెలు తప్పితే అప్పుడు తప్పుడు ఫలితానికీ సరైన శేషం రావచ్చునుగా. మొదట మనకు 14344756523 వచ్చి ఉంటే శేషం 8 అనే వచ్చేది మరి!)

ఇలా ఈశేషాల తమాషా మనకు మన చేతిలెక్కల్ని తప్పులు వెదికేందుకు ఒక సాధనంగా పనికి వస్తుందన్నమాట.

ఇందాకనే అంకెలమొత్తం ఏకాంకం చేయటం అంటే ఇష్టసంఖ్యను తొమ్మిదితో భాగించి శేషం తీసుకోవటమే అన్నాను కదా, ఈ సూత్రం బాగానే పని చేస్తున్నది కదా, మరి ఇలా ఎందుకు ఈసూత్రం ఏర్పడిందీ అన్నది ఇప్పుడు చూద్దాం.

మాటవరసకు 20ని 9 చేత భాగించితే శేషం ఎంత వస్తుంది అంటే చిన్నపిల్లలు కూడా 2 అని ఠక్కున చెప్తారు. 2x9=18 కాబట్టి, 20లో ఆ 18 పోగా మనకు శేషంగా మిగిలేది 2 కదా అన్నది సులభంగానే తెలిసిపోతోంది.

మరి 200ను 9 చేత భాగిస్తే? 2000ను 9 చేత భాగిస్తేనో?

అప్పుడు కూడా శేషం మనకు 2 అనే వస్తున్నది కదా?

ఎవరికైనా అనుమానం ఉందేమో, లెక్కవేసి చూడండి! 2 వస్తుంది శేషంగ.

ఇలా ఎందుకు జరుగుతోందో విశదమ్ చేస్తాను.

20ని మనం 2x10¹+0 అనీ 200ని మనం 2x10² + 0x10¹ + 0 అనీ వ్రాయవచ్చును కదా.

ఎవరికైనా పై సాంకేతికత ఇబ్బందిగా ఉన్నపక్షంలో

20 = 2 x 10 + 0
200 = 2 x 10x10 + 0x10 + 0

అని వ్రాస్తే సులభంగా అవగాహన అవుతున్నది కదా!

ఇప్పుడు మరికొంచెంగా తిరుగ వ్రాద్దాం

20 =  2 x (9+1) + 0 = 2 x (9+1)
200 = 2 x (9+1) x (9+1) + 0 x (9+1) + 0 = 2 x (9+1)x (9+1)

అనీ పై విధంగా వ్రాస్తే కొంచెం పొడుగవుతున్నది కాని పరీక్షగా చూసి ఆలోచిస్తే సులభంగానే అర్థమైపోతుంది అంతా సరిగ్గానే ఉందని. ( సున్నలతో గుణకారాలూ వదిలేయవచ్చునని పెద్దగా కష్టపడకుండానే అందరికీ అర్థం అవుతుందని అనుకుంటున్నాను.)

ఇప్పుడు

20 =  2 x (9+1) = 2 x 9 + 2
200 = 2 x (9+1) x (9+1) = 2 x (9x9+2x9+1) = 2 x 9 x (9+2) + 2

పైన చేసిన గణితం ప్రకారం 20 అన్నా 200 అన్నా కూడా కొన్ని తొమ్మిదులకు పైన 2 అని వస్తున్నది కదా!

ఇలాగే 2 ప్రక్కన ఎన్ని సున్నలు పెట్టినా సరే ఆ సంఖ్యని 9 చేత భాగిస్తే శేషంగా వచ్చేది ఆ సున్నల ముందున్న అంకెయేను.

అసలు ఇంతకన్నా కూడా సులువుగా చెప్పవచ్చునేమో చూదాం.
10 = 9 +1
100 = 99 +1
1000 = 999 + 1

ఇలా సులభంగా చెప్పవచ్చును. ఇప్పుడు

2000 = 2 x (999+1) = 2 x 999 + 2

అదీ సంగతి.

823 ను 9 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంతా అన్నది చూదాం

823 = 800 + 20 + 3

823ను 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంతో, 800, 20, 3 లను విడివిడిగా 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషాలను కూడితే వచ్చేది అంతే!

అన్నట్లు గణిత శాస్త్రంలో శేషం అని చెప్పటానికి ఒక । గుర్తు వాడతారు. మనం అది వాడి చెప్పాలంటే

125|9 = 100|9 + 20|9 + 5|9
          = 1 + 2 + 5
          = 8

ఇప్పుడు ఏ సంఖ్యనైనా 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఆ సంఖ్యలలోని అంకెలమొత్తానికి  సమానం అవుతుంది అని తెలిసింది కదా (గమనిక: అంకెలమొత్తం 9 కన్నా ఎక్కువైతె వీలైనన్ని తొమ్మిదులు పీకెయ్యటమే)

ఇదంతా ఎవరికైనా కొంచెం గందరగోళం అనిపితే మరొక్కసారి చదువుకుంటే సులభంగా అవగాహనకు వస్తుంది.

ఇప్పుడు ఇంకొక్క విషయం చూదాం. ఏ సంఖ్యనైనా 9 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందనుకోండి. అప్పుడు విశేషం ఏమన్నా ఉందా అన్నది చూదాం.

126|9 = 100|9 | 20|9  | 6|9
         = 1 + 2 + 6
         = 9

బాగుంది. ఇఛిన సంఖను తొమ్మిది శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది కాబట్టి దానిలోని అంకెల మొత్తం 9 అవుతుంది.
లేదా 9కి గుణిజం అవుతుంది. ఉదాహరణకు 765 ని 9 శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది. కాని 7+6+5=18 అవుతోంది కదా అంటే ఈ 18ని కూడా 1+8 = 9 అని మళ్ళీ లెక్కవేయాలి.

ఇదే అవగాహనను మరొకరకంగా చూదాం. ఏదన్నా సంఖ్యను 9 చేత గుణించితే ఎమవుతుందీ అని.

సమాధానం ఏమిటంటే ఆ గుణకారఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యను చచ్చినట్లు 9 శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది కదా. అంటే? అ వచ్చే ఫలితంలో అంకెల మొత్తం 9 అవుతుంది!

అందుచేత
   9 x 12 = 108, 1+0+8 = 9

అని చదివి ఆశ్చర్యపోవటానికి కారణం లేదు.
12753 x 9 = 114777. 1+1+4+7+7+7 = 27, 2+7 = 9

ఇప్పుడు మీకు ఇందులో వింత ఏమీ కనిపించటం లేదు కదా!

కుశాగ్రబుధ్ధులుంటారు, ఏ క్లాసులో ఐనా. వాళ్ళకు తప్పకుండా సందేహం వస్తుంది పైన చెప్పినదంతా గ్రహించాక.
మొత్తం కథ అంతా 9 చుట్టూ తిప్పి, ఇప్పుడు 9 అన్నదానిలో ఏ ప్రత్యేకతా లేదూ అంటారేం?  7 చేతో 6 చేతో గుణిస్తే ఇలాంటి తమాషా కనిపించటం లేదు కదా, అందుకని 9ని చాలా విశిష్టసంఖ్య అనాలి కదా అని.

మనం సంఖ్యలన్నింటినీ అలవాటుగా దశాంకమానంలో వ్రాస్తున్నాము. అంటే ఏ సంఖ్యలో నైనా ప్రతి స్థానం విలువా దానికి కుడివైపున ఉన్న స్థానంకన్నా పదిరెట్లు ఎక్కువ విలువ కలిగి ఉంటుంది.

దశాంకమానంలోనే కాదు ఇతర అంకమానాల్లోనూ సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చును. ఉదాహరణకు 144 అని వ్రాసి అయ్యా ఇక్కడ అంకమానం 8 అంటే 144 అన్నది 1x64 + 4x32 + 4 = 100 అన్నమాట మన దశాంక మానంలో.

మన దశాంకమానంలో 9 ఇలా విశిష్ట సంఖ్య ఐతే అష్టాంకమానంలో 7 విశిష్టసంఖ్య మరి.

అలాగు తెలిసికొంటే 9 నెత్తిన కొమ్ములేవీ లేవని అర్థం అవుతుంది.

ఇప్పటికే టపా పెద్దదైనది కదా, ఆ వివరాలన్నీ రాబోయే టపాలో చూదాం.

మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 5. నాలుగవ ఎక్కం మీది చదరాలు.

నాలుగవ ఎక్కం తాలూకు సంఖ్యలకు ఇంగ్లీషు పారిభాషిక పదం doubly even numbers అన్నది.
ఈ కోవలోకి వచ్చే సంఖ్యలు 4, 8, 12, 16, 20, 24,......

ఈ రకమైన చదరాలను నింపటం తేలిక!

ఉదాహరణకు 4 x 4 యొక్క తమాషా చదరం ఇలా ఉంటుంది.

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

ఈ చదరంలో అడ్డంగా, నిలువుగా లేదా కర్ణాల వెంబడి ఐమూలగా ఎలా కూడినా వచ్చే మొత్తం 34 అవుతుంది.  34 అవటం ఎందుకంటే 4 x (4x4 + 1) / 2 = 34 కాబట్టి.

జాగ్రత్తగా గమనించండి. రెండు కర్ణాల్లోనూ ఉన్న సంఖ్యలే మారాయి కాని కర్ణాల్లో లేని అంకెలు మాత్రం మారక గడుల వరస సంఖ్యలగానే ఉన్నాయి కదా.  వరుస సంఖ్యలు వేస్తే చదరం ఇలా ఉంటుందిః

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

మనం కర్ణాల్లో ఉన్న సంఖ్యలను మార్చాం.

ఎలా మార్చాం?  1 - 6 - 11 - 16 అని ఒక కర్ణం ఉంటే దాన్ని వెనుక నుండి ముందుకు మార్చి 16 - 11 - 6 - 1 అని వేసాం. అంటే ప్రతి సంఖ్య నూ 4 x 4 + 1 = 17 నుండి తీసివేసి వచ్చిన ఫలితాన్ని వ్రాసాం.

ఇంతవరకూ బాగుంది. 4 తరువాత చదరం 8. దానికి తమాషా చదరం ఇలా ఉంటుంది.

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

ఈ చదరంలో రంగులు వేసి కొన్ని గడులు చూపటం జరిగింది.  రంగులున్న గడుల్లో సంఖ్యలను మాత్రం మార్చాం. నీలం  గడులు ప్రధాన కర్ణాలు. పసుపురంగు గడులు ఉపకర్ణాలు. ప్రధాన కర్ణాలను గుర్తించటం తేలికే. అవి రెండూ నాలుగు మూలలనూ కలిపే రెండు సరళరేఖల మీద ఉంటాయి. ఉపకర్ణాలను గుర్తించటం కొందరికి కొంచెం ఇబ్బంది కావచ్చును. భయం లేదు. దానికీ సులువుంది. మొత్తం చదరాని 4 x 4 చదరాలుగా విభజించుకోండి. అన్ని 4 x 4 చదరాలకూ కర్ణాలను గుర్తించండి. అంతే.

మనం 8 x 8  చదరాన్ని తీసుకొంటే అది ఇలా 4 x 4 చదరాలుగా విడదీయవచ్చునుః

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

ఇప్పుడు ప్రతి 4x4 చదరంలోనూ కర్ణాలను గుర్తించటం తేలికే కదా. ఇదంతా రంగులు వేసి చేయనక్కర లేదు. పెన్నుతో గీతలు గీసి చేయవచ్చు సులువుగా. ఆపైన గీతలు పడిన గళ్ళలోని సంఖ్యలను చతురంలోని అతిపెద్ద సంఖ్య +1 ( 8కి అయితే 8 x 8 + 1 = 65) లోనుండి వ్యవకలనం చేయటమే.

ఇది ఒకటి రెండు సార్లు మననం చేసుకొని 12 యొక్క చదరాన్నీ 16 యొక్క చదరాన్నీ నింపటానికి ప్రయత్నించండి.

మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 4. ఎన్ని రకాలుగా 3 x 3 చదరాన్ని నింపవచ్చును?

ఎన్ని రకాలుగా మనం ఒక 3 x 3 చదరాన్ని నింపగలం?

ఇది ఒక మంచి ప్రశ్న.

జవాబు ఒక్కటే. ఒకే రకంగా నింపగలం.

కాని మనకు 8 రకాలుగా నింపటం కుదురుతుంది అనిపిస్తుంది.

అలా రకరకాలుగా నింపితే వచ్చే ఫలితాలు ఇలా ఉంటాయి.

8 1 6 3 5 7 4 9 2 A	6 1 8 7 5 3 2 9 4 B	8 3 4 1 5 9 6 7 2 C	4 3 8 9 5 1 2 7 6 D
4 9 2 3 5 7 8 1 6 E	2 9 4 7 5 3 6 1 8 F	6 7 2 1 5 9 8 3 4 G	2 7 6 9 5 1 4 3 8 H

ఇలా 8 రకాలుగా తప్ప మరొకలా నింపటం కుదరదు!

ఐతే ఈ ఎనిమిదీ కూడా ఒకే అమరికను తిరగేసీ బోర్లేసీ రాబట్టినవే కాని కొత్తకొత్త వేమీ కానేకావు

A లో ఎడమ నుండి కుడివైపుకు ఉన్న నిలువు వరసలను కుడి నుండి ఎడమకు మార్చి క్రమం తప్పకుండా నింపితే అది  B అవుతుంది. అంటే A  ప్రక్కన అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం B అన్నమాట.

A లో పైనుండి క్రిందికి ఉన్న అడ్డు వరసలను క్రమం తప్పకుండా క్రింది నుండి పైకి వ్రాస్తూ నింపితే అది E అవుతుంది.  అంటే A  క్రింద అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం E అన్నమాట.

B లోని ఆడ్డువరసలను అలాగే తలక్రిందులు చేస్తే అది F అవుతుంది. అంటే B  క్రింద అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం F అన్నమాట. E  ప్రక్కన అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం కూడా F అవుతున్నది అన్న సంగతీ గమనించండి.

A లోని నిలువు వరసలు అడ్డువరసలుగా వ్రాస్తే అది C అవుతుంది.

A నుండి మనం B,E, F లను ఎలా రాబట్టామో అలాగే  C నుండి D,G, H లనూ రాబట్ట వచ్చును.

ఇలా మనకు కనిపించే మొత్తం 8 అమరికలూ కూడా ఒకే ఒక అమరికకు కేవలం పరిభ్రమణాలూ ప్రతిబింబాలూ తప్ప కొత్తవి ఏమీ కావు.

ఇంకా గమనించవలసిన అంశాలు ఒకటి రెండు ఉన్నాయి.

ఎప్పుడూ చదరం మధ్యగడిలో 5 మాత్రమే ఉండాలి.

నాలుగు మూలలా ఉన్నవి ఎప్పుడూ సరిసంఖ్యలే.

మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 3 (బేసి చదరం 5 x 5 బొమ్మలతో వివరణ.)

ఇప్పుడు 5 x 5 చదరం ఎలా నింపాలో బొమ్మల ద్వారా వివరిస్తున్నాను.

ఉన్నవి 5 x 5 = 25 గడులు. మొదటి అడ్డు వరసలో మధ్య గడిలో 1 వేయాలి. అది నిలువు వరసల్లో మధ్య వరస కూడా. గమనించండి.	1
మొదటి నిలువు వరసలో ఇంక పైకి జరగటం కుదరదు కదా. అందుకని అదే నిలువు వరసలో అట్టడుగుకు వద్దాం. ఆ అడ్డువరసలో కుడి వైపుకు ఒక గడి జరిగి 2 ను ఉంచాలి.	1                           2
కుడివైపుగా ఐమూలగా జరిగి 3 ను ఉంచాలి.	1                      3       2
ఇప్పుడు 4ని ఎక్కడ ఉంచాలి? పైకి ఒక గడి జరగటం కుదురుతుంది. కాని అక్కడ నుండి కుడివైపుకు జరగలేం. ఆ అడ్డువరసలో చివరనే ఉన్నాం కదా! అందుకని అదే అడ్డు వరసలో మొదటికి వచ్చి 4ను వేయాలి	1          4              3       2
కుడివైపుకు ఐమూలగా జరిగి 5 ను ఉంచాలి.	1      5      4              3        2
కుడివైపుకు ఐమూలగా జరిగి 6ను ఉంచాలంటే అక్కడ అప్పటికే 1 ఉంది కదా. అందుకని 5 క్రిందనే 6 వేయాలి.	1     5     4  6              3        2
కుడివైపుకు ఐమూలగా జరుగుతూ 7ని 8ని కూడా వేయాలి.	1 8     5 7     4  6              3        2
8 దగ్గర నుండి  పైకి జరగటం కుదరదు కాబట్టి నిలువు గడి అడుగుకు వచ్చి కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగి 9ని వేయాలి.	1  8      5 7     4 6             3       2 9
10ని ఎక్కడ వేయాలో చూదాం.  ముందు 9నుండి పైకి ఒక గడి జరిగాం. కుడివైపుకు ఒక గడి జరగాలంటే ఎలా? గడులు లేవే! అందుకే  అదే అడ్డు వరసలో మొదటి గడికి వచ్చి 10ని ఉంచాలి.	1   8     5 7      4  6       10       3        2 9
ఇప్పుడు పైకి ఒక గడి జరిగి కుడివైపు గడిలో 11 వేయాలంటే అక్కడ అప్పటికే 6 ఉంది. అందుచేత 10క్రిందనే 11ను వేయాలి.	1   8        5 7     4 6       10        3 11      2 9
ఇంక 12 నుండి 15 దాకా సంఖ్యలను సులభంగా వేసెయ్యటమే. ఒక గడి పైకి - అప్పుడు - ఒకగడి కుడివైపుకు పోతూ చిక్కులేకుండా ఇది కుదురుతోంది.	1 8 15     5 7 14    4 6 13     10 12    3 11      2  9
15 ఉన్నచోటనుండి ఒకగడి పైకెళ్ళితే అది అట్టడుగు గది అవుతుంది. (అక్కడ 9 ఉంది) ఆ గడినుండి ఒక గడి కుడివైపుకు వెళ్ళితే అక్కడ అప్పటికే 11 ఉంది కాబట్టి కుదరదు. అందుచేత 15 ఉన్న గడికి క్రిందగడిలోనే 16ను వేయాలి.	1 8  15   5  7  14  16 4  6 13      10  12     3  11     2  9
16 ఉన్న గడినుండి ఒక గడి పైకి వెడితే అది పై అడ్డుగడిలో చివరి గడి. కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగితే మనం మొదటి గడిలోకి వస్తాం. అక్కడ 17ను వేయాలి.	17  1 8  15   5  7  14  16 4  6 13     10 12    3 11       2 9
17 ఉన్నచోటినుండి ఒకగడి పైకి అంటే ఆనిలువులో అట్టడుగు. అక్కడ నుండి కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగి 18ని వేయాలి	17   1  8 15     5 7  14 16 4 13       10   12      3 11   18     2 9
ఇప్పుడు ఐమూలగా జరుగుతూ 19ని 20ని కూడా వేయాలి.	17     1  8  15   5 7  14 16   4 6 13   20      10 12   19   3  11 18     2 9
20ఉన్న చోటినుండి ఐమూలగా ఇప్పటికే 16 ఆక్రమించింది. కాబట్టి 20 క్రిందనే 21ని వేయాలి.	17   1 8 15     5 7 14   16   4 6 13   20     10   12   19   21  3 11   18     2 9
21 ఉన్నచోటికి ఐమూలగా 22వేయాలి.	17     1 8 15     5 7  14 16   4 6 13   20   22    10 12   19   21  3  11 18     2 9
22 ఉన్న చోటికి పైవరసలో కుడివైపు గడి అంటే ఆ వరసలో మొదటి గడి అవుతుంది. అక్కడ 23 వేయాలి.	17     1 8  15 23   5 7 14    16 4 6  13 20    22 10   12   19   21  3 11    18   2 9
23కు ఐమూలగా ఉన్న గడిలో 24ను వేయాలి.	17   24   1 8 15   23   5 7  14 16   4 6  13 20   22   10   12   19   21  3  11 18     2 9
24 ఉన్నచోటికి నిలువుగా పైకి జరిగితే అది ఆ నిలువు వరసలో అట్టడుగు అవుతుంది. కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగి అక్కడ 25ను వేయాలి.	17   24   1 8 15   23   5 7 14   16   4 6 13   20   22   10   12   19   21  3 11   18   25   2 9

అట్టే చిక్కులు పెట్టకుండానే చదరం పూర్తి అయ్యింది కదా?

సూత్రాలు కూడా సులువుగా ఉన్నాయి కదా.

* 1ని చదరం పైవరుస మధ్య గడిలో వేయటం
* అక్కడి నుండి ప్రతి సంఖ్యను వరుసగా ఐమూలగా కుడివైపున ఉన్న గడిలో వేసుకొంటూ పోవటం.
* పైకి జరగటానికి వీల్లేనప్పుడు నిలువుగడి అట్టడుగుకు రావటం
* కుడి వైపుకు జరగటానికి వీల్లేనప్పుడు అడ్డుగడి మొదటికి రావటం.
* కావలసిన గడిలో ఖాళీలేనప్పుడు కొత్త సంఖ్యను ముందటి సంఖ్యకు క్రింది గడిలో వేయటం.
అంతే అంతే!

ఈ విధంగానే 7,9, 11 వంటీ ఏ బేసి సంఖ్య చదరాన్నైనా సరే త్వరగానే నింప వచ్చును.

ప్రయత్నించి చూడండి మరి.