వారగణనం - 3

కొందరికి పట్టిలు భట్టీయం వేయటం అంటే అస్సలు రుచించదు.

శతాబ్ది సంస్కారంతో సహా వారగణన సూత్రం

    సంవత్సరం + సంవత్సరం/4 + నెలకు ఇండెక్స్ + తేదీ -  2 x ( శతాబ్దిని 4తో భాగించితే వచ్చే శేషం) -1

అని చెప్పుకున్నాం కదా వారగణనం - 2 టపాలో. ఇక్కడ ఇండెక్సుల పట్టికను గుర్తుపెట్టుకోవాలి మరి. అది నచ్చని వారికి దారులు మూసుకుపోలేదు. మరొక విధానం ఉంది.  ( అవసరమైన వారు వారగణనం-1 నుండి మొదలు పెట్టి చదువుకోండి)

భట్టీయం వేయటం అంటే అస్సలు రుచించని వారికి, కావలసిన నెలకు ఇండెక్సును గణితం చేయటానికి ఒక మంచి ఫార్ములా ఉంది.

నెలలకు ఇండెక్సు విలువలు వరుసగా

0 3 3 6

1 4 6 2

5 0 3 5

అని గుర్తు ఉంది కదా. ఇప్పుడు ఫార్ములా ప్రకారం ఎలాగో చూదాం.

ఇండెక్సు = 13  x ( నెల సంఖ్య + 1) / 5
   (సూచనలు: 1. శేషం వదిలేయండి.  2. జవాబులో వీలైనన్ని 7లను తీసివేయండి!)

ఇది మార్చి నుండి డిసెంబరు వరకూ బ్రహ్మాండంగా పని చేస్తుంది. (జనవరి ఫిబ్రవరి నెలల సంగతి తరువాత చూదాం.)

ఉదాహరణకు:

మార్చి ఇండెక్సు   = 13 x (3 + 1) / 5  = 13 x 4 / 5 = 52 / 5 = 10 = 3
అగష్టు ఇండెక్సు   = 13 x (8 + 1) / 5  = 13 x 9 / 5 = 117/ 5 = 23 = 2
డిసెంబరు ఇండెక్సు = 13 x (12 + 1) / 5 = 13 x 13 / 5 = 169 / 5 = 169/5 = 33 = 5

ఐతే జనవరి ఫిబ్రవరి నెలలకు మాత్రం ఆ నెలల సంఖ్యను 13, 14 గా తీసుకోవాలి.  సమాధానం నుండి 1 తీసివేయాలి.

జనవరి ఇండెక్సు = 13 x (13+1) / 5 = 182 / 5 = 36 = 1 సరిచేయగా 0
ఫిబ్రవరి ఇండెక్సు = 13 x (14+1) / 5 = 195 / 5 = 39 = 4 సరిచేయగా 3

ఈ ద్రవిడ ప్రాణాయామం కన్నా జనవరి=0 ఫిబ్రవరి=3 అని గుర్తుపెట్టుకోవటమే సులువుగా ఉంటుంది.

ఇండెక్సుల టేబుల్ సరిగా గుర్తులేని పక్షంలో ఈ సూత్రం ప్రకారం దానిని తిరిగి వ్రాసుకోవటం / తెలుసుకోవటం సులభంగా ఉంటుంది.

ఇలా వచ్చే ఇండెక్సులు అన్నీ పాత ఇండెక్సు టేబుల్‍తో సరిపోలుతాయి.

ఇప్పుడు 2218-10-9 న ఏ వారం అవుతుందో గణితం చేదాం ఒక ఉదాహరణ కోసం.

ఇక్కడ

శతాబ్ది         = 22

సంవత్సరం    = 18

నెల          = 10

తేదీ          =  9

నెలకు ఇండెక్స్ = 0 (అక్టోబరు)

సూత్రం: సంవత్సరం + సంవత్సరం/4 + నెలకు ఇండెక్స్ + తేదీ -  2 x ( శతాబ్దిని 4తో భాగించితే వచ్చే శేషం) -1

గణితం: 18 + 4 + 0 + 9 - 2 x 2 - 1

    = 31 - 5 

    = 26

    = 5 (26 ను7 చేత భాగించగా వచ్చిన శేషం)

    = శుక్రవారం

ఈ విధంగా వారగణనం అసక్తి ఉన్నవారు అభ్యాసం చేయండి. ఐతే లీపు సంవత్సరాలలో జనవరి, ఫిబ్రవరి నెలలకు వచ్చే వార సంఖ్యను ఒకటి తగ్గించటం మరచిపోకండి.

వారగణనం - 2 (updated)

మనం ఇప్పటి వరకూ 1900 నుండి 1999 వరకూ ఏ సంవత్సరంలో ఐనా సరే ఏ తేదీ కయినా సరే అది ఏవారం అవుతుందో ఎలా సులభంగా లెక్కవేయవచ్చునో  తెలుసుకున్నాం. సరిగా గుర్తు లేని వారు వారగణనం-1 టపాను మరొకసారి చదువుకోవలసిందిగా సూచన.

ఇంతవరకూ బాగుంది.

కొన్నేళ్ళ క్రిందటి వరకూ ఈ గణితం సాధారణంగా అందరికీ సరిపోయేది. ఎందుకంటే మన యెఱుకలో ఉన్న జనాభా అందరూ 1900 నుండి 1999 మధ్యలో పుట్టిన వాళ్ళూనూ మనం గుర్తుపెట్టుకొనే అవసరం ఉన్న తేదీ లన్నీ ఈ సంవత్సరాలకే చెందినవి కావటమూ కారణం.

ప్రస్తుతం మనం ఆ కాలం దాటి ముందుకు వచ్చేసాం. ఇప్పుడు మనలో అనేకులకు ఆ పాత సంవత్సరాలలోని తేదీలూ ముఖ్యమైనవి ఉంటున్నాయి. కొత్తగా మనం వాడుకచేస్తున్న సంవత్సరాలన్నీ 20తో మొదలౌతున్నాయి.

ఉదాహరణకు అనేకుల పుట్టినరోజు ఏదో ఒక 19XX సంవత్సరం ఐతే పెళ్ళిరోజో ఉద్యోగంలో చేరిన రోజో ఒక 20XX సంవత్సరంలో ఉంటోంది.

పూర్వం అవధానులను అడిగే తేదీలన్నీ ఏవో కొన్ని19XX సంవత్సరాలే కాని నేటి అష్టావధానికి ఆసౌకర్యం లేదు. ఏదో ఒక 19XX లేదా 20XX సంవత్సరంలో తేదీ అడుగవచ్చును కదా!

కాబట్టి మన ఇంతవరకూ నేర్చుకున్న గణితంలో శతాబ్ది సంఖ్యనూ పరిగణనలోనికి తీసుకోవాలంటే మార్పు చేయక తప్పదు.

అదెలాగో చూదాం.

అసలు ఒక శతాబ్దంలో ఎన్నిరోజులుంటాయీ అన్న ప్రశ్నకు సమధానం చూదాం మొదట.  మనకు తెలిసి ప్రతిసంవత్సరంలోనూ 365రోజులూ పైగా నాలుగేళ్ళ కొకసారి అదనంగా ఫిబ్రవరి 29 అనే మరొక రోజూ. కాబట్టి శతాబ్దం అంటే 100 సంతర్సరాలలో 100 x 365 + 100/4 = 36500 + 25 = 36525 రోజులన్న మాట.

కొద్దిగా తప్పాం. నిజానికి 36524 రోజులేను.

ఎందుకలా?

ప్రతినాలుగేళ్ళకూ ఒక లీప్ సంవత్సరం వస్తుంది కాని సంవత్సరసంఖ్య 00 ఐతే అది లీప్ ఇయర్ కానక్కర లేదు!

1500  లీప్ ఇయర్ కాదు
1600  లీప్ ఇయర్!
1700  లీప్ ఇయర్ కాదు
1800  లీప్ ఇయర్ కాదు
1900  లీప్ ఇయర్ కాదు
2000  లీప్ ఇయర్!
2100  లీప్ ఇయర్ కాదు

అంటే ఏమిటన్న మాట? శతాబ్దాన్ని తెలిపే సంఖ్య4 యొక్క గుణిజం (12, 16, 20, 24 అలా) ఐతేనే 00 సంవత్సరం లీప్ సంవత్సరం. కాకపోతే ఆ సంవత్సరానికి 365రోజులే.

కాబట్టి సాదారణంగా 100 సంవత్సరాలలో 24 లీప్ సంవత్సరాలే ఉంతాయి. కాబట్టి మొత్తం రోజులు 365000+24 మాత్రమే.

ఇఅతే ప్రతి నాలుగువందలయేళ్ళకు ఒకసారి అదనంగా లీప్ ఇయర్ వస్తోంది కదా. 1600, 2000, 2400 సంవత్సరాలు లీప్ సంవత్సరాలే కాబట్టి ఆ సంవత్సరాల్లో ఫిబ్రవరి 29వ తారీఖు ఉంటుంది.

ఇప్పుడు 400 సంవత్సరాలకు ఎన్ని రోజులూ అని? లెక్క తేలికే 4 x 36524 + 1 అంటే 146097 రోజులు.

ఇదంతా ఎందుకు తవ్వి పోసామూ అంటే అక్కడకే వస్తున్నాను. వందేళ్ళల్లో 36524 రోజులు అంటే 5217 వారాల పైనా 5రోజులు. అనగా మరొక్క వారానికి 2 రోజులు తక్కువ.

అలాగే 400 సంవత్సరాలకు ఎన్నిరోజులూ అంటే 146097 రోజులు అన్నాం కదా, అది సరిగ్గా 20871 పూర్తి వారాలు. ఒక్కరోజు కూడా అదనంగా లేదు - తరుగ్గానూ లేదు.

ఒక్కొక్క వంద సంవత్సరాలకూ 2 రోజుల చొప్పున కొట్టివేయాలి కాబట్టి శతాబ్ది సంఖ్యను 4చేత భాగించి శేషాన్ని రెట్టించితే సరి. ఈ అదనం విలువను మన పాత గణితంలో తగ్గించాలి.

మన 19 అనేది శతాబ్ది సంఖ్య అనుకుంటే దాన్ని 4తో భాగిస్తే 3 శేషం వస్తుంది. దీన్ని రెట్టిస్తే 6. న్యాయంగా 19XX సంవత్సరానికి చేసిన గణితంలోనుండి ఈ సవరణ ప్రకారం 6 తగ్గించాలి. కాని అదెలా?  ఈ సవరణకు పూర్వమే మనగణితం అన్ని 19XX సంవత్సరాలకూ సరిపోతోందిగా!

కాబట్టి మన సవరణనే కొంచెం సంస్కరించాలి. అదనంగా 1 తగ్గించటం ద్వారా. అంటే శతాబ్ధి సంఖ్య 19 ఐతే మనం 6 బదులుగా 6+1 = 7 తగ్గించుతున్నాం.. అంటే ఏమీ తగ్గించటం లేదనే.

ఇప్పుడు అంతిమంగా శతాబ్ది సంస్కారం ఏమిటీ అంటే

 - 2 x ( శతాబ్ది సంఖ్యను 4తో భాగించితే వచ్చే శేషం)  -1

ఈ శతాబ్ది సంస్కారంతో సహా వారగణన సూత్రం
   సంవత్సరం + సంవత్సరం/4 + నెలకు ఇండెక్స్ + తేదీ -  2 x ( శతాబ్దిని 4తో భాగించితే వచ్చే శేషం)  -1

ఉదాహరణలు కొన్ని చూదాం.

1618-10-9: 18+4+0+9-0-1 = 30 = 2 మంగళ
1718-10-9: 18+4+0+9-2-1 = 28 = 0 ఆది
1818-10-9: 18+4+0+9-4-1 = 26 = 5 శుక్ర
1918-10-9: 18+4+0+9-6-1 = 24 = 3 బుధ
2018-10-9: 18+4+0+9-0-1 = 30 = 2 మంగళ
2118-10-9: 18+4+0+9-2-1 = 28 = 0 ఆది
2218-10-9: 18+4+0+9-4-1 = 26 = 5 శుక్ర
2318-10-9: 18+4+0+9-6-1 = 24 = 3 బుధ
2418-10-9: 18+4+0+9-0-1 = 30 = 2 మంగళ

ఈ విధంగా ఏశతాబ్దంలో ఐనా సరే ఏ సంవత్సరంలో ఐనా సరే ఇచ్చిన తేదీకి సులభంగా వారం గణితం చేయవచ్చును.

ఎవరైనా సరే చక్కగా అభ్యాసం చేస్తే ఈ గణితాన్ని కేవలం నోటిలెక్కగా సెకనుల్లో చేయవచ్చును.

ఐతే మనం ఈ ఫార్ములాని కొద్దిగా క్లుప్తీకరించ వచ్చును. మనం నెలకు ఒక ఇండెక్స్ సంఖ్యను అనుకున్నాం కదా అవి

 0 3 3 6
 1 4 6 2
 5 0 3 5

అని. వీటితో మనం  మన ఫార్ములా లోని -1 అన్న సంఖ్యను విలీనం చేయవచ్చును. ఋణాత్మకసంఖ్య వచ్చిన చోట అదనంగా ఒక 7ను కలిపితే సరి. ఇప్పుడు సరి చేసిన ఇండెక్సులు ఇలా ఉంటాయి.

 6 2 2 5
 0 3 5 1
 4 6 2 4

అలాగే ఈ -1 లేకుండా శతాబ్ది సంస్కారంతో సహా వారగణన సూత్రం
   సంవత్సరం + సంవత్సరం/4 + నెలకు(కొత్త) ఇండెక్స్ + తేదీ -  2 x ( శతాబ్దిని 4తో భాగించితే వచ్చే శేషం)

ఉదాహరణకు:

1818-10-9: 18+4+6+9-4 = 33 = 5 శుక్ర
1918-10-9: 18+4+6+9-6 = 31 = 3 బుధ
2018-10-9: 18+4+6+9-0 = 37 = 2 మంగళ

కాని ఇలా కొత్త ఇండెక్సులను వాడటాన్ని నేను ప్రోత్సహించను. మొదట ఇచ్చిన ఇండెక్సు టేబుల్ మాత్రమే వాడటం మంచిది. అలా ఎందుకు అన్నది వచ్చే టపా వారగణనం-3 లో చెబుతాను.

అసక్తి ఉంటే మీరూ ప్రయత్నించండి. ముఖ్యంగా ఒక విషయం గుర్తుపెట్టుకోండి. మన గణితం ప్రకారం లీపు సంవత్సరాలలో మాత్రం జనవరి, ఫిబ్రవరి నెలలకు సమాధానాన్ని ఒకరోజు వెనక్కు జరపాలి.

పావులూరి మల్లన గణితంలో ఒకపద్యం.

ఈరోజున  పావులూరి గణితము - ఒక సందేహము అన్న ఒక టపాను చూడటం జరిగింది. అందులో పావులూరి మల్లన గణితంలోనిదిగా ఈ క్రింది పద్యం ఉటంకించారు.

శరశశి షట్కచంద్ర శరసాయక రంధ్ర వియన్నగాగ్ని భూ
ధర గగనాబ్ధి వేదగిరి తర్కపయోనిధి పద్మజాస్య కుం
జరతుహినాంశు సంఖ్యకు నిజంబగు తచ్చతురంగ గేహ వి
స్తరనగు రెట్టి రెట్టి తగు సంకలితంబు జగత్ప్రసిద్ధికిన్

టపా చివరన బ్లాగరు గారు నాకేమాత్రమూ అర్థం కాలేదు. మీకెవరికన్నా అర్థమైతే, ఆ పద్యం నుండి ఆ సంఖ్య ఎలా వచ్చిందో చెబుతారా? అని అడగటం జరిగింది.

సమాధానం కొంచెం పెద్దది కాబట్టీ, విస్తృతపాఠకలోకోపయోగిగా ఆ సమధానం ఉండబట్టీ ఇక్కడ ఒకటపాగా వ్రాస్తున్నాను.

ఈపద్యంలో చాలా సంస్కృతపదాలున్నాయి. ఆ పదాలు అంకెలను తెలుపుతాయి. అదెలాగో చూదాం.

1. శర అంటే 5. శరములు అంటే మన్మథుడి బాణాలు ఐదు అన్నది ఇక్కడ లెక్క. 
2. శశి అంటే 1. సూర్యచంద్రులు ఒక్కొక్కరే. అందుకే శశి అదే చంద్రుడు అని వచ్చింది కాబట్టి లెక్క 1.
3. షట్క అంటే 6. షట్కము అంటే అరు అని సూటిగా చెప్పేసాడు ఇక్కడ.
4. చంద్ర అంటే 1. ఈ విషయం ముందే చెప్పుకున్నాం కద.
5. శర అంటే 5. ఇది కూడా ముందే చెప్పుకున్నాం.
6. సాయక అంటే 5. సాయకము అన్నా శరము అన్నా ఒక్కటే. కాబట్టి 5 అని లెక్క.
7. రంధ్ర అంటే 9. నవరంద్రముల కాయము అని ప్రతీతి. అందుచేత రంద్రములు 9కి గుర్తుగా ఇక్కడ లెక్క 9.
8. వియత్ అంటే 0. వియత్తు అంటే ఆకాశం. ఆకాశం గగనం శూన్యం అని లెక్క.
9. నగ అంటే 7. హిమవంతము, వింధ్యము, నిషధము, మాల్యవంతము, పారియాత్రము, గంధమాదనము, హేమకూటము అని కులగిరులు 7. కాబట్టి ఇక్కడ లెక్క 7.
10. అగ్ని అంటే 3. గార్హపత్యాగ్ని, దక్షిణాగ్ని, ఆహవనీయాగ్ని అని అగ్నులు మూడు. కాబట్టి లెక్క 3.
11. భూధర అంటే 7 అంటే  పైన చెప్పిన కులగిరులే. ఇక్కడా లెక్క 7.
12. గగన అంటే 0. అకాశం గగనం శూన్యం అంటే 0 అని ముందే చెప్పుకున్నాం కదా.
13. అబ్ధి అంటే 4. ఇక్కడ కొంచెం గందరగోళం ఉంది. మన సప్తసముద్రాలు అని వింటూ ఉంటాం  అవి లవణసముద్రము,  ఇక్షుసముద్రము, సురాసముద్రము, సర్పిస్సముద్రము,  దధిసముద్రము,  క్షీరసముద్రము,  జలసముద్రము. నాలుగుసముద్రాలు అని వేరే లెక్క ఉంది. మనం ప్రవర చెప్పుకొనేటప్పుడు చతుస్సాగర పర్యంతం గోబ్రాహ్మణేభ్యః శుభం భవతు అని మొదలుపెడతాం కదా. భూగోళంపై నాలుగుదిక్కుల అంచులవరకూ విస్తరించి  ఉన్నసముద్రాల గురించిన సంగతి ప్రస్తావిస్తున్నారు. ఇదీ ఇక్కడి లెక్క.  కాబట్టి ఇక్కడి లెక్క 4.
14. వేద అంటే 4. చతుర్వేదములు అని అందరకూ తెలుసును. అందుకని లెక్క 4.
15. గిరి అంటే 7. అంటే ముందు చెప్పుకున్న కులగిరులే. మరలా లెక్క 7.
16. తర్కఅంటే 6. తర్కశాస్త్రం ప్రమాణాల ఆధారంగా నిజానిజాలను లెక్కించుతుంది. ఆ ప్రమాణాలు ఆరు. అవి ప్రత్యక్షము, అనుమానము, ఉపమానము, శబ్దము, అర్థాపత్తి,  అనుపలబ్ధి అనేవి. కాబట్టి ఇక్కడ లెక్క 6.
17. పయోనిధి అంటే 4. పయోనిధి అంటే సముద్రం అని అర్థం. పయోనిధులు ముందు చెప్పుకున్నట్లుగా 4.
18. పద్మజాస్య అంటే 4.  పద్మజుడు అంటే బ్రహ్మ. అతడి అస్యములు అంటే ముఖాలు ఎన్ని? అవి 4 కదా.
19. కుంజర అంటే 8. పురాణాల ప్రకారం అష్టదిగ్గజాలు అని ఉన్నాయి. వాటి పేర్లు ఐరావతము, పుండరీకము, వామనము, కుముదము, అంజనము, పుష్పదంతము, సార్వభౌమము, సుప్రతీకము. అందుకని ఇక్కడి లెక్క 8.
20. తుహినాంశు అంటే 1.  తుహినం అంటే మంచు. తుహినకరుడు అంటే చంద్రుడు. చంద్రుడికి సంకేతం 1 అని ముందే చెప్పుకున్నాం.

అంకానాం వామతో గతిః అని నియమం. కాబట్టి తుహినాంశు నుండి వెనక్కు అంకెలను పేర్చుకుంటూ వెళ్ళాలి. అలా చేస్తే మనకు వచ్చే ఫలితం 18446744073709551615 అవుతుంది. ఇది 2 ^ 64 -1 కు సమానం.

మొదటి గడిలో ఒక గింజ అంటే 1 ఇది 2 ^ 0 కు సమానం. రెండవగడిలో రెండు గింజలు అంటే అది 2 ^ 1 కు సమానం. ఇక మూడవగడిలో దీనికి రెట్టింపు అంటే 4 గింజలు అన్నది 2 ^ 2 కు సమానం. ఇలా చివరకు 64వ గడిలో ఉండే గింజల సంఖ 2 ^63 అవుతుంది. ఈ గింజలన్నీ కలిపితే వచ్చే రాశి విలువ

2 ^ 0  + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + ......... 2 ^ 63

ఈ సంకలనం విలువ గణిత శాస్త్రం ప్రకారం 2 ^64 - 1 అవుతుంది. అంటే ఆరాశి సంఖ్య 18446744073709551615

ఈ విధంగా పైపద్యంలో 2 ^ 64 - 1 అంత పెద్ద సంఖ్యను ఇరికించి చెప్పటం జరిగింది.

సంస్కృతంలో సంఖ్యలను శ్లోకాల్లో పొందుపరిచేందుకు ఇది ఒక పద్ధతి. మరొక పధ్ధతి కటపయాది అని ఉంది. దాని గురించి మరెప్పుడన్నా చూదాం.

1+2+3+4+5+6...... = -1/12

అనుకోకుండా నిన్న రామానుజన్ గురించిన ఆలోచనలు చుట్టుముట్టాయి. అత్యంత అద్భుతమైన గణితశాస్త్రవేత్తగా ప్రంపంచం ఎప్పటికీ గుర్తుంచుకునే గొప్పవ్యక్తి రామానుజన్.

కేవలం 32 సంవత్సరాల పాటు మాత్రమే శ్రీనివాస రామానుజన్ జీవించటం గొప్ప దురదృష్టం. ముఖ్యంగా భారతావనికి.

రామానుజన్ చేసిన ఆవిష్కరణల్లో ఒకటి

ఇది చాలా సంచలనాత్మకమైనది.

ఎందుకంటే వరసపెట్టి సహజసంఖ్యలను కూడుకుంటూ పోతే ఎప్పుటికప్పుడు వచ్చే మొత్తం ధనాత్మకంగానే ఉంటుంది, సహజసంఖ్యలంటేనే 1,2,3 అలా అన్నీ ధనాత్మకమైనవి కాబట్టి వాటిలో ఎన్నింటి మొత్తం ఐనా సరే ధనాత్మకమే అవుతుంది. అటువంటిది సహజసంఖ్యలను అనంతంగా కూడుకుంటూ పోతే వచ్చే మొత్తం -1/12 అని ఎలా ఒప్పుకోగలం! ఒకటి ఎలా ఋణాత్మకం అవుతుందీ మొత్తం అన్న శంక. రెండవది  కూడిక ద్వారా వచ్చే మొత్తం అలా అలా కొండలా పెరిగిపోతూ లెక్కించటానికి వీల్లేకుండా ఉంటుంది కదా అది కేవలం పరిమాణంలో 1/12 అంటే ఎల్లా అన్న శంక.

కాని రామానుజన్ ఇచ్చిన ఋజువు చూస్తే మనం నోరు వెళ్ళ బెట్ట వలసిందేను. ఇక్కడి గణితాన్ని చూసి గాభరా పడకండి. ఇది అత్యంత సులభమైనది. అందరికీ సులువుగా బోధపడేదీ. కాబట్టి భయపడకండా ముందుకు సాగండి.

మొట్టమొదట రామానుజన్ 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... అనే అనంత శ్రేణిని పరిశీలించాడు.  దీని విలువ ఎంత అవుతుందో ఇలా లెక్క పెట్టవచ్చును. ఈ శ్రేణిని S1 అనుకుందాం.

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... 

ఇప్పుడు S1 + S1 = 2S1 విలువ ఎంతో ఇలా ముందుగా లెక్కించాడు.

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... 
S1 = 0 +1 -1 +1 -1 +1 -1..... 

కూడిక సులభంగా చేయవచ్చును చూడండి.  కుడివైపున ఉన్న విలువలను నిలువుగా కూడుకుంటూ పోవటమే!

2S1  = 1 +0 +0 +0.......
     = 1

2S1 = 1 అని తేలింది.

కాబట్టి S1  = 1/2

బహు చమత్కారంగా ఉందికదా ఫలితం.

ఇప్పుడు మరొక  1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 ....... అనే అనంత శ్రేణిని చూదాం. దీని విలువ ఎంతో గణితం చేదాం.  ఇప్పుడు దీన్ని S2  అందాం. ఇప్పుడు 2S2 విలువను నేరుగా లెక్కించటం ఎలాగో చూదాం.

S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7  ....... 
S2 = 0 +1 -2 +3 -4 +5 -6  ....... 

ఈ కూడిక కూడా ఇందాకటిలాగే చేయవచ్చును చూడండి.  ఇది వరకటిలాగా కుడివైపున ఉన్న విలువలను నిలువుగా కూడుకుంటూ పోవటమే!

2S2 =  1  -1 +1 -1 +1 -1 ......

అని సమాధానం వస్తున్నది కదా మనకు.

ఐతే కుడివైపున ఉన్న 1  -1 +1 -1 +1 -1 ...... అనేది మనం పైన ముందుగా లెక్కవేసిన S1 అన్నది గుర్తుంది కదా!

కాబట్టి  

2S2 =  S1 
    =  1/2

ఇప్పుడు S2 = 1/4 అని సిధ్ధించింది.


ఇప్పటికి మనం రెండు శ్రేణుల్ని పరిశీలించి వాటి విలువలను నిర్థారించాం

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1  ......  = 1/2
S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7  ....... = 1/4


ఇంక మనం సహజసంఖ్యలను కూడుతూ పోయే శ్రేణి 1+2+3+4...... అనే దాని విలువను నిర్థారించటానికి ప్రయత్నిద్దాం.  దీన్ని మనం S3 అందాం.

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .......

ఈ S3 నుండి S2ను తీసి వేస్తే ఏమిజరుగుతుందో చూదాం.

S3 = 1 +2 +3 +4 +5 +6 .......
S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 .......

తీసివేతను మనం ఇదివరకటి వలె చేదాం.

ఇక్కడ ఒక విషయం గమనించండి పైన ఉన్న S3 శ్రేణిలో అన్నీ + గుర్తులే ఉన్నాయి. కాని క్రింద ఉన్న S2 శ్రేణిలో మార్చిమార్చి + మరియు - గుర్తులు ఉన్నాయి.

1 నుండి 1ని తీసివేస్తే 0 వస్తుంది. అలాగే 3 నుండి 3ను, 5 నుండి 5ను తీసివేసినా సున్నయే వస్తుంది. ఈ సున్నలు మనకు మార్చి మార్చి వస్తాయన్న మాట.

+2 నుండి -2ను తీసివేస్తే మనకు +4 వస్తుంది. అల్గాగే +4 నుండి -4ను తీసివేస్తే +8 వస్తుంది. +6 నుండి -6 ను తీసివేస్తే +12 వస్తుంది. ఈలాంటివి కూడా మార్చి మార్చి వస్తాయి.

కాబట్టి

S3    = 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 .......
S2    = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 -9 .......
S3-S2 = 0 +4 +0 +8 +0 +12+0+16 ......

సున్నలను హాయిగా వదిలిపెట్తవచ్చును కదా. అందుచేత ఇలా వ్రాదాం.

S3-S2 = 0 +4 +0 +8 +0 +12 +0+16 ......
S3-S2 = 4 +8 +12 +16 ......

చూడండి కుడివైపున ఉన్నవన్నీ 4యొక్క గుణిజాలు! అందుచేత మనం ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చును.

S3-S2 = 4( 1 +2 +3 + 4.......)

ఇక్కడ బ్రాకెట్లో ఉన్న భాగం S3 కదా. అందుకని అలా సవరణ చేస్తే 
S3-S2 = 4S3 


ఆహా దగ్గరకు వచ్చేసాం.

S3-S2 = 4S3 అన్న సమీకరణంలో S3 కుడి ఎడమలు రెండింటిలోనూ ఉన్నదని గమనించండి. దానిని ఒకప్రక్కకు తీసుకొని వెళ్ళవచ్చును. అప్పుడు

-S2 = 3S3  లేదా  3S3 = -S2 లేదా S3 = S2/3 అని వివిధరకాలుగా ఎలాగైనా వ్రాయవచ్చును.


మనం S2 = 1/4 అన్నది మర్చిపోలేదు కదా. దాన్నిక్కడ ప్రతిక్షేపించుదాం.

S3 = -S2/3
    = (-1/4)/3 = -1/12

అదండీ సంగతి. 

ఇది చాలా చిత్రమైన ఫలితం.

1+2+3+4+5..........   = -1/12

 ఆధునిక విజ్ఞానశాస్త్రంలో ఈ ఫలితానికి మంచి వినియోగం ఉన్నది!


String theory అని విశ్వం యొక్క నిర్మాణాన్ని వివరించే భౌతికశాస్త్ర సిధ్ధాంతం ఒకటి ఉంది. దానిలో విశ్వానికి 26 పరిణామాలున్నాయని తెలియవస్తుంది. ఈ సిధ్ధాంతాన్ని నిర్మించే క్రమంలో పైన చెప్పిన ఫలితానికి వినియోగం ఉంది. అలాగే quantum mechanics అని మరొక అణువిజ్ఞానశాఖ ఉంది. దానితోనూ ఈ ఫలితానికి ప్రమేయం ఉంది.

వారగణనం - 1

నిత్యం మనం వాడుతూ ఉన్న గ్రిగొరియన్ కాలెండర్లో ఇచ్చిన తారీఖునకు సరియైన వారం గణితం వేసే విధానం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది. అప్పుడప్పుడు అష్టావధానాల్లో సభలోని వారో పృచ్ఛకులో ఏదో ఒక తారీఖు చెప్పి ఆరోజు ఏవారం  ఐనదీ చెప్పమనటమూ అవధాని వెంటనే చెప్పటమూ మంచి వినోదంగా ఉంటుంది.

తారీఖుకు వారం కనుక్కోవటం కేవలం గణితం.

అతిసులభం అనలేము కాని సులభం అనే చెప్పాలి.

మొదట ఈ టేబుల్ భట్టీయం వేయాలి

జనవరి  0
ఫిబ్రవరి  3
మార్చి  3
ఏప్రిల్   6
మే     1
జూన్    4
జూలై    6
ఆగష్టు   2
సెప్టెంబరు 5
అక్టోబరు  0
నవంబరు 3
డిసెంబరు 5

ఈ టేబుల్ వెనుకాల బ్రహ్మ రహస్యం ఏమీ లేదు.

జనవరి 1వ తారీఖు ఆది వారం అనుకుంటే ఫిబ్రవరి 1వ తారీఖు బుధవారం అవుతుంది. ఎందుకలా అంటే జనవరిలో 31రోజులుంటాయి కదా, అందులో 28రోజులు (పూర్తివారాలు) కొట్టివేస్తే మిగిలేది 3 కాబట్టి. ఫిబ్రవరి 1 బుధవారం ఐతే (లీపు సంవత్సరం కాని సం. లో) మార్చి 1వ తేదీ బుధవారమే అవుతుంది. మరలా మార్చిలో 31 రోజులు కాబట్టి ఏప్రిల్ 1వ తారీఖున 3+31 =34లో 28రోజులు కొట్టివేస్తే 6వది అవుతుంది.  ఇలా సంవత్సరంలో ప్రతినెల మొదటి తారీఖు ఏవారం అయ్యేదీ తెలిపే టెబుల్ ఇదన్నమాట, ఈ టేబుల్ ప్రకారం సంవత్సరంలో మొదటిది ఆదివారం అనుకుంటూన్నాం అంతే.

ప్రతిసంవత్సరానికీ 365 రోజులు. ఒక సంవత్సరం లో పూర్తివారాలు కొట్టివేస్తే 1రోజు అదనం అన్నమాట, కాబట్టి ఒకసంవత్సరం మొదటి తారీఖు ఆదివారం ఐతే (అది లీపు సంవత్సరం కాకపోతే) అ తరువాతి సంవత్సరం మొదటి తారీఖు సోమవారం అవుతుంది.

ప్రతి నాలుగు సంవత్సరాలకు ఒక లీపు సంవత్సరం వస్తుంది.

ఇప్పుడు 20వ శతాబ్దంలోని తారీఖులకు వారాలు సులభంగా ఎలా చెప్పవచ్చో చూద్దాం. (తరువాత ఇతర శతాబ్దాల సంగతీ చూద్దాం).

నిజానికి 20వ శతాబ్దం 1901 సంవత్సరంతో మొదలు అవుతుంది. 1900తో కాదు. కాని మన గణితానికి 1900 ఐనా ఇబ్బంది లేదు.

1900- జనవరి -1 ఏ వారం?

సూత్రం. సంవత్సరం + సంవత్సరం/4  + నెలకు టేబుల్ ఇండెక్స్ + నెలలో తారీఖు

గణితం.  0 + 0 + 0 + 1

ఇక్కడ సంవత్సరం అంటే శతాబ్దంభాగాన్ని వదిలేయాలి. కేవలం సంవత్సరభాగం 00 మాత్రం తీసుకోవాలి. ఈ సున్నను 4చేత భాగిస్తే వచ్చేది 0 కదా. టేబుల్ ప్రకారం జనవరి ఇండెక్స్ 0. నెలలో తారీఖు 1. అన్నీ కలిపితే వచ్చేది 1. ఆది వారం 0 నుండి లెక్కవేస్తే 1సోమవారం . ఇది సరైనదే.

1947- ఆగష్టు - 15 ఏ వారం?

గణితం.
     సంవత్సరం      47
    47/4 విలువ    11
    ఆగష్టు ఇండెక్స్    2
   తారీఖు          15
   మొత్తం  47+11+2+15 = 75
   ఈ 75 ను 7 చేత భాగిస్తే శేషం 5 అంటే శుక్రవారం.

ఇలా ఏసంవత్సరంలో ఏనెల కైనా చేయవచ్చును. కాని లీపు సంవత్సరాలతో కొంచెం పేచీ వస్తుంది చూడండి.

1996-1-1 ఏ వారం?

గణితం.  96 + 96/4 + 0 + 1 = 121
      121ని 7 చేత భాగిస్తే శేషం 2 అంటే మంగళవారం.
      ఇది తప్పు. ఆ రోజు సోమవారం.

సవరణ.  తప్పు ఎందుకు వచ్చిందంటే 4 సంవత్సరాలకూ ఒకరోజు చొప్పున 96సంవత్సరాలకు 24రోజులు. కాని ఈ అదనపు దినం కలిసేది మార్చి నుండి కాని జనవరి నుండి కాదు కదా? అందుచేత లీపు సంవత్సరాలలో మాత్రం జనవరి, ఫిబ్రవరి నెలలకు సమాధానాన్ని ఒకరోజు వెనక్కు జరపాలి.

ఇప్పుడంతా సరిగ్గానే ఉంది కదా?

మొదట ఈ టేబుల్ బాగా గుర్తుపెట్టుకోవాలి. దానికో చిట్కా ఏమిటంటే 0336, 1462, 5035 అనే సంఖ్యలను గుర్తుపెట్టుకోవటమే. రెండవది కొన్ని ఇరవయ్యవ శతాబ్దపు తారీఖులకు వారాలు గణనం చేస్తూ ఈ గణితాన్ని బాగా ఆభ్యాసం చేయాలి. 

మరొక చిట్కా గుర్తుపెట్టుకోవాలి. చివరన 7 చేత భాగించి శేషం మాత్రం వాడతాము. కాబట్టి ఎక్కడికక్కడ 7చేత భాగహారం చేసుకోవచ్చును.  1996-1-1 ఏ వారం? అన్నప్పుడు 96 + 96/4 + 0 + 1 = 121 అని ప్రయాస పడనక్కరలేదు. 96 బదులు 5 తీసుకొని దీనికి 24 బదులు 3 కలిపితే 8 అంటే 1 దీనికి 0 కలిపితే 1 మళ్ళా 1 కలిపితే 2. కాని లీపు సంవత్సరంలో మార్చికి ముందు నెలలు కాబట్టి 1 తగ్గిస్తే 2-1=1 సోమవారం అని వేగంగా నోటి లెక్క చేయవచ్చును. 7వ ఎక్కం బాగా రావాలి ముందు.

రాబోయే టపాలో ఈ సూత్రాన్ని విస్తరించి ఏశతాబ్దంలో ఐనా ఎలా గణనం చేయవచ్చునో చెబుతాను.