1+2+3+4+5+6...... = -1/12

అనుకోకుండా నిన్న రామానుజన్ గురించిన ఆలోచనలు చుట్టుముట్టాయి. అత్యంత అద్భుతమైన గణితశాస్త్రవేత్తగా ప్రంపంచం ఎప్పటికీ గుర్తుంచుకునే గొప్పవ్యక్తి రామానుజన్.

కేవలం 32 సంవత్సరాల పాటు మాత్రమే శ్రీనివాస రామానుజన్ జీవించటం గొప్ప దురదృష్టం. ముఖ్యంగా భారతావనికి.

రామానుజన్ చేసిన ఆవిష్కరణల్లో ఒకటి

ఇది చాలా సంచలనాత్మకమైనది.

ఎందుకంటే వరసపెట్టి సహజసంఖ్యలను కూడుకుంటూ పోతే ఎప్పుటికప్పుడు వచ్చే మొత్తం ధనాత్మకంగానే ఉంటుంది, సహజసంఖ్యలంటేనే 1,2,3 అలా అన్నీ ధనాత్మకమైనవి కాబట్టి వాటిలో ఎన్నింటి మొత్తం ఐనా సరే ధనాత్మకమే అవుతుంది. అటువంటిది సహజసంఖ్యలను అనంతంగా కూడుకుంటూ పోతే వచ్చే మొత్తం -1/12 అని ఎలా ఒప్పుకోగలం! ఒకటి ఎలా ఋణాత్మకం అవుతుందీ మొత్తం అన్న శంక. రెండవది  కూడిక ద్వారా వచ్చే మొత్తం అలా అలా కొండలా పెరిగిపోతూ లెక్కించటానికి వీల్లేకుండా ఉంటుంది కదా అది కేవలం పరిమాణంలో 1/12 అంటే ఎల్లా అన్న శంక.

కాని రామానుజన్ ఇచ్చిన ఋజువు చూస్తే మనం నోరు వెళ్ళ బెట్ట వలసిందేను. ఇక్కడి గణితాన్ని చూసి గాభరా పడకండి. ఇది అత్యంత సులభమైనది. అందరికీ సులువుగా బోధపడేదీ. కాబట్టి భయపడకండా ముందుకు సాగండి.

మొట్టమొదట రామానుజన్ 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... అనే అనంత శ్రేణిని పరిశీలించాడు.  దీని విలువ ఎంత అవుతుందో ఇలా లెక్క పెట్టవచ్చును. ఈ శ్రేణిని S1 అనుకుందాం.

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... 

ఇప్పుడు S1 + S1 = 2S1 విలువ ఎంతో ఇలా ముందుగా లెక్కించాడు.

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... 
S1 = 0 +1 -1 +1 -1 +1 -1..... 

కూడిక సులభంగా చేయవచ్చును చూడండి.  కుడివైపున ఉన్న విలువలను నిలువుగా కూడుకుంటూ పోవటమే!

2S1  = 1 +0 +0 +0.......
     = 1

2S1 = 1 అని తేలింది.

కాబట్టి S1  = 1/2

బహు చమత్కారంగా ఉందికదా ఫలితం.

ఇప్పుడు మరొక  1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 ....... అనే అనంత శ్రేణిని చూదాం. దీని విలువ ఎంతో గణితం చేదాం.  ఇప్పుడు దీన్ని S2  అందాం. ఇప్పుడు 2S2 విలువను నేరుగా లెక్కించటం ఎలాగో చూదాం.

S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7  ....... 
S2 = 0 +1 -2 +3 -4 +5 -6  ....... 

ఈ కూడిక కూడా ఇందాకటిలాగే చేయవచ్చును చూడండి.  ఇది వరకటిలాగా కుడివైపున ఉన్న విలువలను నిలువుగా కూడుకుంటూ పోవటమే!

2S2 =  1  -1 +1 -1 +1 -1 ......

అని సమాధానం వస్తున్నది కదా మనకు.

ఐతే కుడివైపున ఉన్న 1  -1 +1 -1 +1 -1 ...... అనేది మనం పైన ముందుగా లెక్కవేసిన S1 అన్నది గుర్తుంది కదా!

కాబట్టి  

2S2 =  S1 
    =  1/2

ఇప్పుడు S2 = 1/4 అని సిధ్ధించింది.


ఇప్పటికి మనం రెండు శ్రేణుల్ని పరిశీలించి వాటి విలువలను నిర్థారించాం

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1  ......  = 1/2
S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7  ....... = 1/4


ఇంక మనం సహజసంఖ్యలను కూడుతూ పోయే శ్రేణి 1+2+3+4...... అనే దాని విలువను నిర్థారించటానికి ప్రయత్నిద్దాం.  దీన్ని మనం S3 అందాం.

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .......

ఈ S3 నుండి S2ను తీసి వేస్తే ఏమిజరుగుతుందో చూదాం.

S3 = 1 +2 +3 +4 +5 +6 .......
S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 .......

తీసివేతను మనం ఇదివరకటి వలె చేదాం.

ఇక్కడ ఒక విషయం గమనించండి పైన ఉన్న S3 శ్రేణిలో అన్నీ + గుర్తులే ఉన్నాయి. కాని క్రింద ఉన్న S2 శ్రేణిలో మార్చిమార్చి + మరియు - గుర్తులు ఉన్నాయి.

1 నుండి 1ని తీసివేస్తే 0 వస్తుంది. అలాగే 3 నుండి 3ను, 5 నుండి 5ను తీసివేసినా సున్నయే వస్తుంది. ఈ సున్నలు మనకు మార్చి మార్చి వస్తాయన్న మాట.

+2 నుండి -2ను తీసివేస్తే మనకు +4 వస్తుంది. అల్గాగే +4 నుండి -4ను తీసివేస్తే +8 వస్తుంది. +6 నుండి -6 ను తీసివేస్తే +12 వస్తుంది. ఈలాంటివి కూడా మార్చి మార్చి వస్తాయి.

కాబట్టి

S3    = 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 .......
S2    = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 -9 .......
S3-S2 = 0 +4 +0 +8 +0 +12+0+16 ......

సున్నలను హాయిగా వదిలిపెట్తవచ్చును కదా. అందుచేత ఇలా వ్రాదాం.

S3-S2 = 0 +4 +0 +8 +0 +12 +0+16 ......
S3-S2 = 4 +8 +12 +16 ......

చూడండి కుడివైపున ఉన్నవన్నీ 4యొక్క గుణిజాలు! అందుచేత మనం ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చును.

S3-S2 = 4( 1 +2 +3 + 4.......)

ఇక్కడ బ్రాకెట్లో ఉన్న భాగం S3 కదా. అందుకని అలా సవరణ చేస్తే 
S3-S2 = 4S3 


ఆహా దగ్గరకు వచ్చేసాం.

S3-S2 = 4S3 అన్న సమీకరణంలో S3 కుడి ఎడమలు రెండింటిలోనూ ఉన్నదని గమనించండి. దానిని ఒకప్రక్కకు తీసుకొని వెళ్ళవచ్చును. అప్పుడు

-S2 = 3S3  లేదా  3S3 = -S2 లేదా S3 = S2/3 అని వివిధరకాలుగా ఎలాగైనా వ్రాయవచ్చును.


మనం S2 = 1/4 అన్నది మర్చిపోలేదు కదా. దాన్నిక్కడ ప్రతిక్షేపించుదాం.

S3 = -S2/3
    = (-1/4)/3 = -1/12

అదండీ సంగతి. 

ఇది చాలా చిత్రమైన ఫలితం.

1+2+3+4+5..........   = -1/12

 ఆధునిక విజ్ఞానశాస్త్రంలో ఈ ఫలితానికి మంచి వినియోగం ఉన్నది!


String theory అని విశ్వం యొక్క నిర్మాణాన్ని వివరించే భౌతికశాస్త్ర సిధ్ధాంతం ఒకటి ఉంది. దానిలో విశ్వానికి 26 పరిణామాలున్నాయని తెలియవస్తుంది. ఈ సిధ్ధాంతాన్ని నిర్మించే క్రమంలో పైన చెప్పిన ఫలితానికి వినియోగం ఉంది. అలాగే quantum mechanics అని మరొక అణువిజ్ఞానశాఖ ఉంది. దానితోనూ ఈ ఫలితానికి ప్రమేయం ఉంది.