స్వామి పాదముల చెంత చక్కగా

స్వామి పాదముల చెంత చక్కగా పూవులుంచి
యేమి వేడుకొంటి వయ్య యిప్పుడు నీవు

ఏమి వేడుకొందు నయ్య యీలోక వస్తువులు
స్వామి చిరునగవులకు సాటివచ్చునా
రామపాదసేవనారతుల కన్యముల పైన
నేమైన భ్రాంతి యుండు టెక్కడి మాట

ఏమి వేడుకొందు నయ్య స్వామి ప్రేమతో నా
కే మిచ్చునో యదే యెంతో మేలు
రాముడు తన నామ మిచ్చి రక్షించె నది చాలు
తామసము తొలగి నేను ధన్యుడ నైతి

ఏమి వేడుకొందు నయ్య రాముడు నన్నేలగ
నా మనసున కోర్కెలు నశియించెను
స్వామి పాదముల చెంత చక్కని పూవువలె
నా మనసు నిలచె నదే నాకు చాలును

చేతులెత్తి మ్రొక్కితిని చిత్తము నీ కిచ్చితిని

చేతులెత్తి మ్రొక్కితిని చిత్తము నీ కిచ్చితిని
సీతారామ నీకు నేను సేవకుడ నైతిని

ఖ్యాతిగల శ్రీరాముడ కరుణారససాంద్రుడ
నా తప్పులు మన్నించెడు నాదేవదేవుడ
కోతికి బ్రహ్మపదము కొసరినట్టి ఘనుడ
నా తరమా నిన్ను పొగడ నళినదళేక్షణుడ

సకలలోకపోషకుడ శరణాగతరక్షకుడ
అకళంకవీరవరుడ అవనిజారమణుడ
సుకుమారుడ పరమసుందరాకారుడ
ప్రకటించితి నీవె నాకు పతివని రాముడ

పరమధర్మస్వరూపుడ సురవిరోధికాలుడ
పరమేశ్వరాభినుతుడ పరమేష్ఠివినుతుడ
పరమయోగీంద్రహృధ్బావితాంతరాత్ముడ
పరమభక్తజనసేవితపాదారవిందుడ

దాశరథికి జయ పెట్టి దండము పెట్టి

దాశరథికి జయ పెట్టి దండము పెట్టి
దేశమెల్ల నతని సత్కీర్తి చాట సమకట్టి

దండువిడిసి యున్నారు దాశరథి భక్తుల
నండజయాన జానకమ్మ చూడవమ్మ
దండిగా దీవనలను దయచేసి పంపవమ్మ
నిండనీ దిక్కులన్ని నీవిభుని కీర్తితో

కోవెలలే వెలయగను కొల్లలై యూరూర
దేవుడై రామయ్య దేవేరి వీవై
వేవేల జనులమధ్య వేడుకలు నిత్యమై
కావింపగ సందళ్ళు కదలు చున్నారమ్మ

రామనామ మంత్రమే రక్షించు నన్నది
భూమి నందరి హృదయ భూముల కెఱుకగా
పామరులు పండితులీ భవవార్థి దాటగా
ఈ మహాత్ము లుద్యమించి రిదె చూడవమ్మ

1+2+3+4+5+6...... = -1/12

అనుకోకుండా నిన్న రామానుజన్ గురించిన ఆలోచనలు చుట్టుముట్టాయి. అత్యంత అద్భుతమైన గణితశాస్త్రవేత్తగా ప్రంపంచం ఎప్పటికీ గుర్తుంచుకునే గొప్పవ్యక్తి రామానుజన్.

కేవలం 32 సంవత్సరాల పాటు మాత్రమే శ్రీనివాస రామానుజన్ జీవించటం గొప్ప దురదృష్టం. ముఖ్యంగా భారతావనికి.

రామానుజన్ చేసిన ఆవిష్కరణల్లో ఒకటి

ఇది చాలా సంచలనాత్మకమైనది.

ఎందుకంటే వరసపెట్టి సహజసంఖ్యలను కూడుకుంటూ పోతే ఎప్పుటికప్పుడు వచ్చే మొత్తం ధనాత్మకంగానే ఉంటుంది, సహజసంఖ్యలంటేనే 1,2,3 అలా అన్నీ ధనాత్మకమైనవి కాబట్టి వాటిలో ఎన్నింటి మొత్తం ఐనా సరే ధనాత్మకమే అవుతుంది. అటువంటిది సహజసంఖ్యలను అనంతంగా కూడుకుంటూ పోతే వచ్చే మొత్తం -1/12 అని ఎలా ఒప్పుకోగలం! ఒకటి ఎలా ఋణాత్మకం అవుతుందీ మొత్తం అన్న శంక. రెండవది  కూడిక ద్వారా వచ్చే మొత్తం అలా అలా కొండలా పెరిగిపోతూ లెక్కించటానికి వీల్లేకుండా ఉంటుంది కదా అది కేవలం పరిమాణంలో 1/12 అంటే ఎల్లా అన్న శంక.

కాని రామానుజన్ ఇచ్చిన ఋజువు చూస్తే మనం నోరు వెళ్ళ బెట్ట వలసిందేను. ఇక్కడి గణితాన్ని చూసి గాభరా పడకండి. ఇది అత్యంత సులభమైనది. అందరికీ సులువుగా బోధపడేదీ. కాబట్టి భయపడకండా ముందుకు సాగండి.

మొట్టమొదట రామానుజన్ 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... అనే అనంత శ్రేణిని పరిశీలించాడు.  దీని విలువ ఎంత అవుతుందో ఇలా లెక్క పెట్టవచ్చును. ఈ శ్రేణిని S1 అనుకుందాం.

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... 

ఇప్పుడు S1 + S1 = 2S1 విలువ ఎంతో ఇలా ముందుగా లెక్కించాడు.

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1..... 
S1 = 0 +1 -1 +1 -1 +1 -1..... 

కూడిక సులభంగా చేయవచ్చును చూడండి.  కుడివైపున ఉన్న విలువలను నిలువుగా కూడుకుంటూ పోవటమే!

2S1  = 1 +0 +0 +0.......
     = 1

2S1 = 1 అని తేలింది.

కాబట్టి S1  = 1/2

బహు చమత్కారంగా ఉందికదా ఫలితం.

ఇప్పుడు మరొక  1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 ....... అనే అనంత శ్రేణిని చూదాం. దీని విలువ ఎంతో గణితం చేదాం.  ఇప్పుడు దీన్ని S2  అందాం. ఇప్పుడు 2S2 విలువను నేరుగా లెక్కించటం ఎలాగో చూదాం.

S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7  ....... 
S2 = 0 +1 -2 +3 -4 +5 -6  ....... 

ఈ కూడిక కూడా ఇందాకటిలాగే చేయవచ్చును చూడండి.  ఇది వరకటిలాగా కుడివైపున ఉన్న విలువలను నిలువుగా కూడుకుంటూ పోవటమే!

2S2 =  1  -1 +1 -1 +1 -1 ......

అని సమాధానం వస్తున్నది కదా మనకు.

ఐతే కుడివైపున ఉన్న 1  -1 +1 -1 +1 -1 ...... అనేది మనం పైన ముందుగా లెక్కవేసిన S1 అన్నది గుర్తుంది కదా!

కాబట్టి  

2S2 =  S1 
    =  1/2

ఇప్పుడు S2 = 1/4 అని సిధ్ధించింది.


ఇప్పటికి మనం రెండు శ్రేణుల్ని పరిశీలించి వాటి విలువలను నిర్థారించాం

S1 = 1 -1 +1 -1 +1 -1 +1  ......  = 1/2
S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7  ....... = 1/4


ఇంక మనం సహజసంఖ్యలను కూడుతూ పోయే శ్రేణి 1+2+3+4...... అనే దాని విలువను నిర్థారించటానికి ప్రయత్నిద్దాం.  దీన్ని మనం S3 అందాం.

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .......

ఈ S3 నుండి S2ను తీసి వేస్తే ఏమిజరుగుతుందో చూదాం.

S3 = 1 +2 +3 +4 +5 +6 .......
S2 = 1 -2 +3 -4 +5 -6 .......

తీసివేతను మనం ఇదివరకటి వలె చేదాం.

ఇక్కడ ఒక విషయం గమనించండి పైన ఉన్న S3 శ్రేణిలో అన్నీ + గుర్తులే ఉన్నాయి. కాని క్రింద ఉన్న S2 శ్రేణిలో మార్చిమార్చి + మరియు - గుర్తులు ఉన్నాయి.

1 నుండి 1ని తీసివేస్తే 0 వస్తుంది. అలాగే 3 నుండి 3ను, 5 నుండి 5ను తీసివేసినా సున్నయే వస్తుంది. ఈ సున్నలు మనకు మార్చి మార్చి వస్తాయన్న మాట.

+2 నుండి -2ను తీసివేస్తే మనకు +4 వస్తుంది. అల్గాగే +4 నుండి -4ను తీసివేస్తే +8 వస్తుంది. +6 నుండి -6 ను తీసివేస్తే +12 వస్తుంది. ఈలాంటివి కూడా మార్చి మార్చి వస్తాయి.

కాబట్టి

S3    = 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 .......
S2    = 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 -9 .......
S3-S2 = 0 +4 +0 +8 +0 +12+0+16 ......

సున్నలను హాయిగా వదిలిపెట్తవచ్చును కదా. అందుచేత ఇలా వ్రాదాం.

S3-S2 = 0 +4 +0 +8 +0 +12 +0+16 ......
S3-S2 = 4 +8 +12 +16 ......

చూడండి కుడివైపున ఉన్నవన్నీ 4యొక్క గుణిజాలు! అందుచేత మనం ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చును.

S3-S2 = 4( 1 +2 +3 + 4.......)

ఇక్కడ బ్రాకెట్లో ఉన్న భాగం S3 కదా. అందుకని అలా సవరణ చేస్తే 
S3-S2 = 4S3 


ఆహా దగ్గరకు వచ్చేసాం.

S3-S2 = 4S3 అన్న సమీకరణంలో S3 కుడి ఎడమలు రెండింటిలోనూ ఉన్నదని గమనించండి. దానిని ఒకప్రక్కకు తీసుకొని వెళ్ళవచ్చును. అప్పుడు

-S2 = 3S3  లేదా  3S3 = -S2 లేదా S3 = S2/3 అని వివిధరకాలుగా ఎలాగైనా వ్రాయవచ్చును.


మనం S2 = 1/4 అన్నది మర్చిపోలేదు కదా. దాన్నిక్కడ ప్రతిక్షేపించుదాం.

S3 = -S2/3
    = (-1/4)/3 = -1/12

అదండీ సంగతి. 

ఇది చాలా చిత్రమైన ఫలితం.

1+2+3+4+5..........   = -1/12

 ఆధునిక విజ్ఞానశాస్త్రంలో ఈ ఫలితానికి మంచి వినియోగం ఉన్నది!


String theory అని విశ్వం యొక్క నిర్మాణాన్ని వివరించే భౌతికశాస్త్ర సిధ్ధాంతం ఒకటి ఉంది. దానిలో విశ్వానికి 26 పరిణామాలున్నాయని తెలియవస్తుంది. ఈ సిధ్ధాంతాన్ని నిర్మించే క్రమంలో పైన చెప్పిన ఫలితానికి వినియోగం ఉంది. అలాగే quantum mechanics అని మరొక అణువిజ్ఞానశాఖ ఉంది. దానితోనూ ఈ ఫలితానికి ప్రమేయం ఉంది.

పదుగురిలో నేను పలుచన కానేల

పదుగురిలో నేను పలుచన కానేల
నది నీకు హితవైన నటులే కానీ

నిదుర లేచిన దాది నిన్నెంచు మనసు
పెదవుల కొసల నీ పేరులె చిందులాడు
అది పరధ్యానమని యనుకొను లోకము
వదలక గేలిసేయ పడిపడి నవ్వెదవా

వెలలేని నీచిరు నవ్వులు చాలు నాకు
తులలేని నీ కొలువు దొరకెనుగా నాకు
సులువుగ మందిలో కలువకున్నాడని
నలుగురు నవ్విన నవ్వెదవా నీవు

నా రాముడే చాలు నాకని నమ్మితి
పేరు నూరు లేకున్న పెద్దగ చింత లేదు
వీరు వారు నేడు నన్నూఱక దూఱిన
నౌరా నీవును నవ్వ నైనదిగా బ్రతుకు

ఆంధ్రౌన్నత్యం - నేటి స్థితి

ఈనాడు (7/11/2019)న నాకు తెలిసిన లోకం బ్లాగు వారు ఆంధ్రౌన్నత్యం అనే టపా ప్రకటించారు. అందులో పద్యాలు 10934 నాటివి. బాగున్నాయి. నాస్పందన అక్కడ వ్రాసాను. అది ఈబ్లాగులో ఒకటపా రూపంలో భద్రపరిస్తే బాగుంటుందని భావిస్తున్నాను.

మధ్యాక్కర.
ఒకనాటి యౌన్నత్యములను గూర్చినేడూరక పలుక
ప్రకటిత మగునవి నేటి మన డొల్ల బ్రతుకులే కనుక
నికనైన పూర్వవైభవము సాధించ నిప్పటి వారు
చకచక ధృఢదీక్ష బూని ముందుకు సాగుటే మేలు

తే.గీ. నోరు నొవ్వంగ గతకీర్తి నుడివి నుడివి
సమయమును వ్యర్థపరచుట చాలు చాలు
మరల సత్కీర్తిసాధించు మార్గమేదొ
యరసి గెలిచిన గర్వించు నాంధ్రమాత!

ద్విపద.
బాలచంద్రుని గూర్చి బ్రహ్మన్న గూర్చి
కాలోచితము కాదు లోలోన మురియ
రాణి రుద్రమ గూర్చి రాయల గూర్చి
ఆనందపడిన కార్యము తీరబోదు
నీవేమి యొనరించి నీ జాతి కీర్తి
బావుటా నెగిరింతు వది ముఖ్యమయ్య
పాతగొప్పల నింక పాతరవేసి
ఖ్యాతి మీఱిన నాంద్రమాత గర్వించు

చేతులెత్తి మ్రొక్కేము చిత్తజగురుడ

చేతులెత్తి మ్రొక్కేము చిత్తజగురుడ నీవు
మా తప్పు లెంచవు  మాకది చాలు

సరిసరి స్వేదజోద్భిజాండజ యోనుల
చరియించి నరులమై సంతోషమేది
నరులము కాగానే నానాతప్పులెంచ
దొరకొను నీకొడుకు పెద్దదొర చూడవె

ఎప్పుడో పుట్టితిమట యేమేమొ చేసితిమట
యిప్పుడా తప్పుల కెంతత శిక్షలో
చెప్పరాని బాధలాయె చిత్తము నీవైపు
త్రిప్పగ క్షణమైన నెప్పు డుపశమించవు

రాముడవై వచ్చి తారకనామమిచ్చి
ప్రేముడి మాకు పంచి పెట్టినావయ్య
మా మా తప్పొప్పులన్ని మట్టి కలియుగ
మేము నీసన్నిధిలో మెలగుచుంటిమి

నీరు గాలి నిప్పులతో

నీరు గాలి నిప్పులతో నేల మట్టిని
చేరిచి ఒక బొమ్మను చేసి విడచెను

అది యీ స్థల కాలంబుల నాడే నాడే
నిదిగో పదిమంది ముం దింపు గాను
అదుపు లేక నాడిపాడు నంతే గాని
కుదురు లేదు బెదురు లేదు కొంచమైన

అప్పుడప్పు డా బొమ్మ యాటతప్పుచో
తప్పుడు తాళములు వేసి దారితప్పుచో
తప్పక యపు డాటగాడె తలదూర్చెను
తప్పొప్పుల విడమరచి దారి చూపెను

ఆటగాడె రాముడనగ నవతరించగ
ఆటగాడె కృష్ణుడగుచు నవతరించగ
మేటిబొమ్మ యిది యెఱిగి మేలు కాంచగ
ఆట మిగిలియున్న బొమ్మ లాడుచుండెను

నాలుక రాముని నామము పలికిన

నాలుక రాముని నామము పలికిన
చాలు ననవె మనసా మనసా

అరిషడ్వర్గము నతిసులభముగా
మరలించుకదా మనసా మనసా
హరినామము నీ కది చాలదటే
హరిహరి రఘువర యనవే మనసా

పరమాత్ముడె నీ పతియని గతియని
తరచుగ మురియుచు తలచవె మనసా
నిరతిశయంబై నిచ్చలు కురిసే
హరికృప చాలని యనవే మనసా

హరినామమె భవతరణోపాయము
మరువక చేయవె మనసా మనసా
వరభక్తుల కపవర్గము సిధ్ధము
హరిని విడువనని యనవే మనసా

కల్లబ్రతుకుల నుండి కన్నీళ్ళ నుండి

కల్లబ్రతుకుల నుండి కన్నీళ్ళ నుండి
కల్లమంత్రములు నిన్ను కాపాడునా

ధరనున్నసప్తకోటి వరమంత్రంబులు
కురిపించు సిధ్ధులు కొంచెంబులే
మరల పుట్టువు తేని మంత్ర మందేది
నరుడా రామనామ మంత్రము కాక

కామితంబుల నీయ గల మంత్రంబులు
కామాదు లడగించి కాచేదేమి
ప్రేమతో దోసములు వెడలించి వేగ
రామనామ మంత్రమే రక్షించు కాని

ఈరాకపోకలకు నింతటితో స్వస్తి
శ్రీరామనామము చెప్పించులే
వేరు మంత్రముల మీద వెఱ్ఱిని విడచి
శ్రీరామనామమే చింతించ వయ్య

పాహిపాహి రామ పావననామ

పాహిపాహి రామ పావననామ పాహిపాహి రామ పట్టాభిరామ
పాహిపాహి రామ బ్రహ్మాండాధిప పాహిపాహి పరబ్రహ్మస్వరూప

కోదండధర రామ వేదోధ్ధారక గోవింద దశరథ నందన
కోదండధర రామ మంధరగిరిధర గోవింద సంహృతతాటక
కోదండధర రామ కువలయరక్షక గోవింద యజ్ఞసంరక్షక
కోదండధర రామ ప్రహ్లాదవరద గోవింద శివచాపఖండన

కోదండధర రామ బలిగర్వాంతక గోవింద సీతానాయక
కోదండధర రామ క్షత్రకులాంతక గోవింద వనమాలాధర
కోదండధర రామ ధర్మస్వరూప గోవింద మునిజనరక్షక
కోదండధర రామ గోవర్థనధర గోవింద దనుజగణాంతక

కోదండధర రామ హింసావిదూర గోవింద శబరీపూజిత
కోదండధర రామ కలిదర్పాంతక గోవింద హనుమత్సేవిత
కోదండధర రామ ధృతదశరూప గోవింద రావణసంహర
కోదండధర రామ భక్తసంరక్షక గోవింద త్రిజగత్పూజిత

జయజయ లక్ష్మీనారాయణా

జయజయ లక్ష్మీనారాయణా హరి జగదాధార నారాయణా
జయజయ రామ నారాయణా హరి సనకాదినుత నారాయణా

శ్రీరామచంద్ర నారాయణా హరి సీతానాయక నారాయణా
నారదవినుత నారాయణా హరి నాశనరహిత నారాయణా
కారుణ్యాలయ నారాయణా హరి కామితవరద నారాయణా
శూరజనోత్తమ నారాయణా హరి సుందరవిగ్రహ నారాయణా

దశరథనందన నారాయణా హరి దరహాసముఖ నారాయణా
దశముఖ మర్దన నారాయణా హరి ధర్మస్వరూప నారాయణా
ప్రశమితేంద్రియ నారాయణా హరి రాజలలామ నారాయణా
విశదమహాయశ నారాయణా హరి వేదవిహార నారాయణా

పరమసుఖప్రద  నారాయణా హరి పరమానంద నారాయణా
గరుడవాహన నారాయణా హరి ఖలవిదారణ నారాయణా
సురగణసేవిత నారాయణా హరి శోకనివారణ నారాయణా
పరమాత్మా హరి నారాయణా భవపాశవిమోచన నారాయణా