సంఖ్యాశాస్త్రంలో 9 చాలా విశిష్టమైన సంఖ్య అన్నది నిజమేనా?

హరికాలం బ్లాగులోని  కొత్తటపా వేదాల్లో సైన్సు లేదా?మోడరన్ సైన్సు వేదాల్లో తప్పులున్నాయని నిరూపించగలదా?  అన్నదానిలో ఈ క్రింది సంగతి కనిపించింది.

సంఖ్యాశాస్త్రంలో 9 చాలా విశిష్టమైన సంఖ్య.

9 x 1 = 9
9 x 2 = 18, 1 + 8 = 9
9 x 3 = 27, 2 + 7 = 9
9 x 4 = 36, 3 + 6 = 9
9 x 5 = 45, 4 + 5 = 9
9 x 6 = 54, 5 + 4 = 9
9 x 7 = 63, 6 + 3 = 9
9 x 8 = 72, 7 + 2 = 9
9 x 9 = 81, 8 + 1 = 9
9 x 10=90, 9 + 0 = 9
9 x 11=99, 9 + 9 = 18, 1 + 8 = 9
9 x 12 = 108

నిజానికి 9 అనే అంకెకు ఏ ప్రత్యేకతా లేదు.

ఉందనిపించటం అంతా మన భ్రమ మాత్రమే.  ఈ భ్రమను గురించి వివరంగా చెప్తే కాని ఒకపట్టాన అర్థం కాదు చాలామందికి. అందుచేత ఆ బ్లాగులో ఈవిషయకంగా ఏవ్యాఖ్యనూ వ్రాయలేదు. అదీ కాక వ్యాఖ్యలను వేయటం పట్ల (ప్రస్తుతం?) నాకు విముఖత మెండుగా ఉంది కాబట్టి ఎలాగూ వ్యాఖ్యను ఉంచే ప్రసక్తీ లేదు.

అందుచేత విపులంగా ఈ భ్రమను గురించి ఈటపాలో చర్చిస్తాను.

అసలు సంగతిని వివరించటానికి ముందుగా మరొక విషయం పైన పాఠకులకు అవగాహన కల్పించవలసిన అవసరం చాలా ఉంది.

కూడికలూ తీసివేతలూ గుణకారాలూ మనం రెండు సంఖ్యల మధ్యన నిర్వహిస్తే మరొక సంఖ్య ఫలితంగా వస్తుంది.

ఉదాహరణ: 5 + 3 =  8, 5 - 3 =  2, 5 x 3 = 15

ఒక్క భాగహారం విషయంలో ఒక తమాషా ఉంది. భాగహారం వలన రెండు ఫలితాలు వస్తాయి. ఒకటి భాగఫలం, రెండవది శేషం.

ఉదాహరణః 5 / 3 = 1. ఈ 1 అనేది భాగఫలం. శేషం 2

మనం ఈ శేషాల గురించి మరి కొంచెం అవగాహన కలిగించుకోవాలి ఇక్కడ.  ఇది కూడా ఒక ఉదాహరణ ద్వారా వివరిస్తాను.

17 + 13 =  30
17  - 13 =    4
17 x 13 = 221

ఇప్పుడు మనం పై సంఖ్యలకు బదులు వాటిని 7తో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలను ఉపయోగించి తిరిగి ప్రయత్నిద్దాం.

3 + 6  = 9 = 2  (9లోనుండి 7 తీసివేయాలి శుభ్రంగా)
3  - 6  = -3 = 4  (-3 ఋణసంఖ్య కాబట్టి 7 కలపాలిక్కడ)
3 x 6  = 18 = 4  (18ని మళ్ళా 7చే భాగించి శేషం తీసుకున్నాం)

ఇప్పుడు మొదట అసలు సంఖ్యలతో చేసిన లెక్కల ఫలితాలనూ 7చే భాగిస్తే వచ్చే శేషాలుగా మారిస్తే 30 = 2, 4 = 4, 221 = 4.

అంటే మనం గణితాన్ని సంఖ్యలతో చేసినా ఏదైనా ఒక సంఖ్యతో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలతో చేసినా మన కూడికలూ వగైరా సరిగ్గానే వస్తాయి.

ఈ తమాషా వలన ఒక ప్రయోజనం ఉందని గమనించండి.

మా చిన్నప్పుడు మానాన్నగారు ఈ సుళువును ఉపయోగించటం చూసాను. ఆయన ఎలా వాడేవారో అంటే ఒక ఉదాహరణ చూపుతాను.

152863 ను 93821 తో గుణిస్తే  ఫలితం  14341759523 అని రావాలి.

ఐతే ఆరోజుల్లో కాలిక్యులేటర్లూ వగైరాలు లేవు. చేత్తో గుణించవలసిందే. ఎక్కడైనా పొరపాటు జరిగే అవకాశం తప్పకుండా ఉంది. ఉదాహరణకు మనకు ఫలితం 14341756523 అని వచ్చింది అనుకుందాం. తప్పా ఒప్పా ఎలా సులువుగా తెలుసుకోవటం అంటే దానికి మానాన్నగారి చిట్కా చూడండి

152863 లోని అంకెల మొత్తం 1+5+2+8+6+3 = 25 = 2+5 = 7
93821  లోని అంకెల మొత్తం 9+3+8+2+1 = 23 = 2+3 = 5

అంకెలమొత్తం ఏకాంకం చేయటం అంటే ఇష్టసంఖ్యను తొమ్మిదితో భాగించి శేషం తీసుకోవటమే!  ఈ సూత్రం ఎందుకు ఎలా పనిచేస్తున్నదీ అన్నవిషయం కొద్ది సేపటి తరువాత చూదాం.

ఇప్పుడు గుణకారాన్ని ఈశేషాలతో చేదాం

7 x 5 = 35 = 3 +5 = 8

మనకు అసలు గుణకారంలో ఫలితంగా వచ్చిన సంఖ్యను తొమ్మిదితో భాగిస్తే ఏమి వస్తోందో చూదాం.

14341756523  = 1+4+3+4+1+7+5+6+5+2+3  = 41 = 4+1 = 5

మనగుణకారం తప్పు. మనకు 8 కదా రావలసింది!!

మళ్ళా మరొకసారి సరిగ్గా గుణకారం చేసుకుందాం. ఇప్పుడు మనకు  వచ్చిన ఫలితం 14341759523

దీన్ని మరలా పరిశీలిద్దాం.

14341759523  = 1+4+3+4+1+7+5+9+5+2+3 = 44 = 4 + 4 = 8

ఆఁ. ఇప్పుడు సరిపోయింది కదా.

మన గుణకారం సరిగ్గా ఉండే అవకాశం హెచ్చు.

(హెచ్చు అన్నానే కాని గుణాకారం సరిగ్గా ఉందని అనలేదు. మన మొదటి ఫలితంలో ఒకటికంటే ఎక్కువ అంకెలు తప్పితే అప్పుడు తప్పుడు ఫలితానికీ సరైన శేషం రావచ్చునుగా. మొదట మనకు 14344756523 వచ్చి ఉంటే శేషం 8 అనే వచ్చేది మరి!)

ఇలా ఈశేషాల తమాషా మనకు మన చేతిలెక్కల్ని తప్పులు వెదికేందుకు ఒక సాధనంగా పనికి వస్తుందన్నమాట.

ఇందాకనే అంకెలమొత్తం ఏకాంకం చేయటం అంటే ఇష్టసంఖ్యను తొమ్మిదితో భాగించి శేషం తీసుకోవటమే అన్నాను కదా, ఈ సూత్రం బాగానే పని చేస్తున్నది కదా, మరి ఇలా ఎందుకు ఈసూత్రం ఏర్పడిందీ అన్నది ఇప్పుడు చూద్దాం.

మాటవరసకు 20ని 9 చేత భాగించితే శేషం ఎంత వస్తుంది అంటే చిన్నపిల్లలు కూడా 2 అని ఠక్కున చెప్తారు. 2x9=18 కాబట్టి, 20లో ఆ 18 పోగా మనకు శేషంగా మిగిలేది 2 కదా అన్నది సులభంగానే తెలిసిపోతోంది.

మరి 200ను 9 చేత భాగిస్తే? 2000ను 9 చేత భాగిస్తేనో?

అప్పుడు కూడా శేషం మనకు 2 అనే వస్తున్నది కదా?

ఎవరికైనా అనుమానం ఉందేమో, లెక్కవేసి చూడండి! 2 వస్తుంది శేషంగ.

ఇలా ఎందుకు జరుగుతోందో విశదమ్ చేస్తాను.

20ని మనం 2x10¹+0 అనీ 200ని మనం 2x10² + 0x10¹ + 0 అనీ వ్రాయవచ్చును కదా.

ఎవరికైనా పై సాంకేతికత ఇబ్బందిగా ఉన్నపక్షంలో

20 = 2 x 10 + 0
200 = 2 x 10x10 + 0x10 + 0

అని వ్రాస్తే సులభంగా అవగాహన అవుతున్నది కదా!

ఇప్పుడు మరికొంచెంగా తిరుగ వ్రాద్దాం

20 =  2 x (9+1) + 0 = 2 x (9+1)
200 = 2 x (9+1) x (9+1) + 0 x (9+1) + 0 = 2 x (9+1)x (9+1)

అనీ పై విధంగా వ్రాస్తే కొంచెం పొడుగవుతున్నది కాని పరీక్షగా చూసి ఆలోచిస్తే సులభంగానే అర్థమైపోతుంది అంతా సరిగ్గానే ఉందని. ( సున్నలతో గుణకారాలూ వదిలేయవచ్చునని పెద్దగా కష్టపడకుండానే అందరికీ అర్థం అవుతుందని అనుకుంటున్నాను.)

ఇప్పుడు

20 =  2 x (9+1) = 2 x 9 + 2
200 = 2 x (9+1) x (9+1) = 2 x (9x9+2x9+1) = 2 x 9 x (9+2) + 2

పైన చేసిన గణితం ప్రకారం 20 అన్నా 200 అన్నా కూడా కొన్ని తొమ్మిదులకు పైన 2 అని వస్తున్నది కదా!

ఇలాగే 2 ప్రక్కన ఎన్ని సున్నలు పెట్టినా సరే ఆ సంఖ్యని 9 చేత భాగిస్తే శేషంగా వచ్చేది ఆ సున్నల ముందున్న అంకెయేను.

అసలు ఇంతకన్నా కూడా సులువుగా చెప్పవచ్చునేమో చూదాం.
10 = 9 +1
100 = 99 +1
1000 = 999 + 1

ఇలా సులభంగా చెప్పవచ్చును. ఇప్పుడు

2000 = 2 x (999+1) = 2 x 999 + 2

అదీ సంగతి.

823 ను 9 చేత భాగిస్తే శేషం ఎంతా అన్నది చూదాం

823 = 800 + 20 + 3

823ను 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఎంతో, 800, 20, 3 లను విడివిడిగా 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషాలను కూడితే వచ్చేది అంతే!

అన్నట్లు గణిత శాస్త్రంలో శేషం అని చెప్పటానికి ఒక । గుర్తు వాడతారు. మనం అది వాడి చెప్పాలంటే

125|9 = 100|9 + 20|9 + 5|9
          = 1 + 2 + 5
          = 8

ఇప్పుడు ఏ సంఖ్యనైనా 9 చేత భాగిస్తే వచ్చే శేషం ఆ సంఖ్యలలోని అంకెలమొత్తానికి  సమానం అవుతుంది అని తెలిసింది కదా (గమనిక: అంకెలమొత్తం 9 కన్నా ఎక్కువైతె వీలైనన్ని తొమ్మిదులు పీకెయ్యటమే)

ఇదంతా ఎవరికైనా కొంచెం గందరగోళం అనిపితే మరొక్కసారి చదువుకుంటే సులభంగా అవగాహనకు వస్తుంది.

ఇప్పుడు ఇంకొక్క విషయం చూదాం. ఏ సంఖ్యనైనా 9 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందనుకోండి. అప్పుడు విశేషం ఏమన్నా ఉందా అన్నది చూదాం.

126|9 = 100|9 | 20|9  | 6|9
         = 1 + 2 + 6
         = 9

బాగుంది. ఇఛిన సంఖను తొమ్మిది శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది కాబట్టి దానిలోని అంకెల మొత్తం 9 అవుతుంది.
లేదా 9కి గుణిజం అవుతుంది. ఉదాహరణకు 765 ని 9 శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది. కాని 7+6+5=18 అవుతోంది కదా అంటే ఈ 18ని కూడా 1+8 = 9 అని మళ్ళీ లెక్కవేయాలి.

ఇదే అవగాహనను మరొకరకంగా చూదాం. ఏదన్నా సంఖ్యను 9 చేత గుణించితే ఎమవుతుందీ అని.

సమాధానం ఏమిటంటే ఆ గుణకారఫలితంగా వచ్చే సంఖ్యను చచ్చినట్లు 9 శేషం లేకుండా భాగిస్తుంది కదా. అంటే? అ వచ్చే ఫలితంలో అంకెల మొత్తం 9 అవుతుంది!

అందుచేత
   9 x 12 = 108, 1+0+8 = 9

అని చదివి ఆశ్చర్యపోవటానికి కారణం లేదు.
12753 x 9 = 114777. 1+1+4+7+7+7 = 27, 2+7 = 9

ఇప్పుడు మీకు ఇందులో వింత ఏమీ కనిపించటం లేదు కదా!

కుశాగ్రబుధ్ధులుంటారు, ఏ క్లాసులో ఐనా. వాళ్ళకు తప్పకుండా సందేహం వస్తుంది పైన చెప్పినదంతా గ్రహించాక.
మొత్తం కథ అంతా 9 చుట్టూ తిప్పి, ఇప్పుడు 9 అన్నదానిలో ఏ ప్రత్యేకతా లేదూ అంటారేం?  7 చేతో 6 చేతో గుణిస్తే ఇలాంటి తమాషా కనిపించటం లేదు కదా, అందుకని 9ని చాలా విశిష్టసంఖ్య అనాలి కదా అని.

మనం సంఖ్యలన్నింటినీ అలవాటుగా దశాంకమానంలో వ్రాస్తున్నాము. అంటే ఏ సంఖ్యలో నైనా ప్రతి స్థానం విలువా దానికి కుడివైపున ఉన్న స్థానంకన్నా పదిరెట్లు ఎక్కువ విలువ కలిగి ఉంటుంది.

దశాంకమానంలోనే కాదు ఇతర అంకమానాల్లోనూ సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చును. ఉదాహరణకు 144 అని వ్రాసి అయ్యా ఇక్కడ అంకమానం 8 అంటే 144 అన్నది 1x64 + 4x32 + 4 = 100 అన్నమాట మన దశాంక మానంలో.

మన దశాంకమానంలో 9 ఇలా విశిష్ట సంఖ్య ఐతే అష్టాంకమానంలో 7 విశిష్టసంఖ్య మరి.

అలాగు తెలిసికొంటే 9 నెత్తిన కొమ్ములేవీ లేవని అర్థం అవుతుంది.

ఇప్పటికే టపా పెద్దదైనది కదా, ఆ వివరాలన్నీ రాబోయే టపాలో చూదాం.