మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 5. నాలుగవ ఎక్కం మీది చదరాలు.

నాలుగవ ఎక్కం తాలూకు సంఖ్యలకు ఇంగ్లీషు పారిభాషిక పదం doubly even numbers అన్నది.
ఈ కోవలోకి వచ్చే సంఖ్యలు 4, 8, 12, 16, 20, 24,......

ఈ రకమైన చదరాలను నింపటం తేలిక!

ఉదాహరణకు 4 x 4 యొక్క తమాషా చదరం ఇలా ఉంటుంది.

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

ఈ చదరంలో అడ్డంగా, నిలువుగా లేదా కర్ణాల వెంబడి ఐమూలగా ఎలా కూడినా వచ్చే మొత్తం 34 అవుతుంది.  34 అవటం ఎందుకంటే 4 x (4x4 + 1) / 2 = 34 కాబట్టి.

జాగ్రత్తగా గమనించండి. రెండు కర్ణాల్లోనూ ఉన్న సంఖ్యలే మారాయి కాని కర్ణాల్లో లేని అంకెలు మాత్రం మారక గడుల వరస సంఖ్యలగానే ఉన్నాయి కదా.  వరుస సంఖ్యలు వేస్తే చదరం ఇలా ఉంటుందిః

1	2	3	4
5	6	7	8
9	10	11	12
13	14	15	16

మనం కర్ణాల్లో ఉన్న సంఖ్యలను మార్చాం.

ఎలా మార్చాం?  1 - 6 - 11 - 16 అని ఒక కర్ణం ఉంటే దాన్ని వెనుక నుండి ముందుకు మార్చి 16 - 11 - 6 - 1 అని వేసాం. అంటే ప్రతి సంఖ్య నూ 4 x 4 + 1 = 17 నుండి తీసివేసి వచ్చిన ఫలితాన్ని వ్రాసాం.

ఇంతవరకూ బాగుంది. 4 తరువాత చదరం 8. దానికి తమాషా చదరం ఇలా ఉంటుంది.

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

ఈ చదరంలో రంగులు వేసి కొన్ని గడులు చూపటం జరిగింది.  రంగులున్న గడుల్లో సంఖ్యలను మాత్రం మార్చాం. నీలం  గడులు ప్రధాన కర్ణాలు. పసుపురంగు గడులు ఉపకర్ణాలు. ప్రధాన కర్ణాలను గుర్తించటం తేలికే. అవి రెండూ నాలుగు మూలలనూ కలిపే రెండు సరళరేఖల మీద ఉంటాయి. ఉపకర్ణాలను గుర్తించటం కొందరికి కొంచెం ఇబ్బంది కావచ్చును. భయం లేదు. దానికీ సులువుంది. మొత్తం చదరాని 4 x 4 చదరాలుగా విభజించుకోండి. అన్ని 4 x 4 చదరాలకూ కర్ణాలను గుర్తించండి. అంతే.

మనం 8 x 8  చదరాన్ని తీసుకొంటే అది ఇలా 4 x 4 చదరాలుగా విడదీయవచ్చునుః

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

ఇప్పుడు ప్రతి 4x4 చదరంలోనూ కర్ణాలను గుర్తించటం తేలికే కదా. ఇదంతా రంగులు వేసి చేయనక్కర లేదు. పెన్నుతో గీతలు గీసి చేయవచ్చు సులువుగా. ఆపైన గీతలు పడిన గళ్ళలోని సంఖ్యలను చతురంలోని అతిపెద్ద సంఖ్య +1 ( 8కి అయితే 8 x 8 + 1 = 65) లోనుండి వ్యవకలనం చేయటమే.

ఇది ఒకటి రెండు సార్లు మననం చేసుకొని 12 యొక్క చదరాన్నీ 16 యొక్క చదరాన్నీ నింపటానికి ప్రయత్నించండి.