16, నవంబర్ 2017, గురువారం

పై కెగిరి లంకపైన పడిన తోకచిచ్చా


పై కెగిరి లంకపైన పడిన తోకచిచ్చా
నీ‌కు నీవె సాటి సుమా నిజము తోకచిచ్చా

లంక జేరి సీత నరసి జంక కెల్ల వనము జెరచి
మంకు రాకాసిమూక మానముడిపి నిలిచి
లంకేశుని సభకు చేరి గొంకక రాముని పొగడి
అంకిలిపాటోర్చి నట్టి హనుమన్న తోకచిచ్చా

విడచి ధర్మపరుండైన విభీషణునుని మందిరము
విడువక పురమెల్ల కాల్చి విడచితివి బూదికుప్ప
నిగుడ కీల లతిశయించి నింగిముట్ట సంబరము
వగకారితనము మీఱు పవనజుని తోకచిచ్చా

సీతమ్మ కోర చందన శీతలమై యుండు నట్లు
వీతిహోత్రు డొనరించిన వేడ్కగొన్న తోకచిచ్చా
భూతలమున రామబంటు భూరిశక్తి చాటిన
వాతాత్మజు కీర్తికే పతాకమైన తోకచిచ్చా


15, నవంబర్ 2017, బుధవారం

మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 5. నాలుగవ ఎక్కం మీది చదరాలు.


నాలుగవ ఎక్కం తాలూకు సంఖ్యలకు ఇంగ్లీషు పారిభాషిక పదం doubly even numbers అన్నది.
ఈ కోవలోకి వచ్చే సంఖ్యలు 4, 8, 12, 16, 20, 24,......

ఈ రకమైన చదరాలను నింపటం తేలిక!

ఉదాహరణకు 4 x 4 యొక్క తమాషా చదరం ఇలా ఉంటుంది.

16  2 313
 51110 8
 9 7 612
 41415 1

ఈ చదరంలో అడ్డంగా, నిలువుగా లేదా కర్ణాల వెంబడి ఐమూలగా ఎలా కూడినా వచ్చే మొత్తం 34 అవుతుంది.  34 అవటం ఎందుకంటే 4 x (4x4 + 1) / 2 = 34 కాబట్టి.

జాగ్రత్తగా గమనించండి. రెండు కర్ణాల్లోనూ ఉన్న సంఖ్యలే మారాయి కాని కర్ణాల్లో లేని అంకెలు మాత్రం మారక గడుల వరస సంఖ్యలగానే ఉన్నాయి కదా.  వరుస సంఖ్యలు వేస్తే చదరం ఇలా ఉంటుందిః

1234
5678
9101112
13 141516

మనం కర్ణాల్లో ఉన్న సంఖ్యలను మార్చాం.

ఎలా మార్చాం?  1 - 6 - 11 - 16 అని ఒక కర్ణం ఉంటే దాన్ని వెనుక నుండి ముందుకు మార్చి 16 - 11 - 6 - 1 అని వేసాం. అంటే ప్రతి సంఖ్య నూ 4 x 4 + 1 = 17 నుండి తీసివేసి వచ్చిన ఫలితాన్ని వ్రాసాం.

ఇంతవరకూ బాగుంది. 4 తరువాత చదరం 8. దానికి తమాషా చదరం ఇలా ఉంటుంది.
64
2361606757
955541213515016
1747462021434224
40
26273736303133
32
34352928383925
4123224445191848
4915145253111056
8
58595462631

ఈ చదరంలో రంగులు వేసి కొన్ని గడులు చూపటం జరిగింది.  రంగులున్న గడుల్లో సంఖ్యలను మాత్రం మార్చాం. నీలం  గడులు ప్రధాన కర్ణాలు. పసుపురంగు గడులు ఉపకర్ణాలు. ప్రధాన కర్ణాలను గుర్తించటం తేలికే. అవి రెండూ నాలుగు మూలలనూ కలిపే రెండు సరళరేఖల మీద ఉంటాయి. ఉపకర్ణాలను గుర్తించటం కొందరికి కొంచెం ఇబ్బంది కావచ్చును. భయం లేదు. దానికీ సులువుంది. మొత్తం చదరాని 4 x 4 చదరాలుగా విభజించుకోండి. అన్ని 4 x 4 చదరాలకూ కర్ణాలను గుర్తించండి. అంతే.

మనం 8 x 8  చదరాన్ని తీసుకొంటే అది ఇలా 4 x 4 చదరాలుగా విడదీయవచ్చునుః
64
2361606757
9
55541213515016
17
47462021434224
40
26273736303133
32
34352928383925
41
23224445191848
49
15145253111056
8
58595462631

ఇప్పుడు ప్రతి 4x4 చదరంలోనూ కర్ణాలను గుర్తించటం తేలికే కదా. ఇదంతా రంగులు వేసి చేయనక్కర లేదు. పెన్నుతో గీతలు గీసి చేయవచ్చు సులువుగా. ఆపైన గీతలు పడిన గళ్ళలోని సంఖ్యలను చతురంలోని అతిపెద్ద సంఖ్య +1 ( 8కి అయితే 8 x 8 + 1 = 65) లోనుండి వ్యవకలనం చేయటమే.

ఇది ఒకటి రెండు సార్లు మననం చేసుకొని 12 యొక్క చదరాన్నీ 16 యొక్క చదరాన్నీ నింపటానికి ప్రయత్నించండి.


14, నవంబర్ 2017, మంగళవారం

దూతవంటె నీవేలే తోకరాయడా నీ చేతలన్ని ఘనములే తోకరాయడా


దూతవంటె నీవేలే తోకరాయడా నీ
చేతలన్ని ఘనములే తోకరాయడా

రవిసుతుని దూతవై తోకరాయడా శ్రీ
రవికులపతి నరసినావు తోకరాయడా
రవికులేశు మైత్రి గూర్చి తోకరాయడా నీవు
ప్లవగేంద్రుని కాచినావు తోకరాయడా

శ్రీరాముని దూతవై తోకరాయడా పెద్ద
వారాసిని దుముకినావు తోకరాయడా
వారిజాక్షి సీత నరసి తోకరాయడా లంక
బీరమెల్ల కాల్చినావు తోకరాయడా

రామభక్తజనుల కెల్ల తోకరాయడా నిన్ను
కామధేను వందురయ్య తోకరాయడా
రామాజ్ఞను గొని రమ్ము తోకరాయడా నన్ను
స్వామికడకు కొనిపొమ్ము తోకరాయడా


12, నవంబర్ 2017, ఆదివారం

వీడెవ్వడయ్యా యన్న వీడు వట్టి పిచ్చివాడు



వీడెవ్వడయ్యా యన్న వీడు వట్టి పిచ్చివాడు
వేడుకతో కావదగిన వాడు శ్రీరామచంద్ర

పడవలసిన పాట్లు గలవు పుడమి వ్రాలినాడు
కుడువదగిన కర్మఫలము కుడువవచ్చినాడు
దుడుకుపనులు తొల్లి చేసి తొడరి వచ్చినాడు
విడువలేక నైజ మెల్లవిధములను చెడినాడు

కల్లమాటలాడ బోను కానివేమి చేయబోను
నల్లనయ్య రక్షించుమని తల్లడిల్లినాడు వీడు
తల్లిపొట్ట నుండి కోటి దండములే పెట్టినాడు
చెల్లబో ప్రకృతిమాయ చేత నిదే చిక్కినాడు

వీడు తనంతతానై విడుచుటేడ ప్రకృతి నింక
వీడు నిన్నెఱుగుటేడ వీఱిడియై యున్నాడు
వీడు నిన్ను వేడుటేడ వీడు నిన్ను చేరుటేడ
వీడి బాధలడచ వయ్య వేరు దిక్కులేదు సూవె


ఏమిటయ్యా వీ డిచ్చట చేసేది యేమంత ఘనకార్య మెవ్వడెరుగనిది


ఏమిటయ్యా వీ డిచ్చట చేసేది
యేమంత ఘనకార్య మెవ్వడెరుగనిది

వచ్చుట పోవుట వచ్చిపోయెడు వారి
గ్రుచ్చిగ్రుచ్చి చూచుట కొఱకొఱలాడుట
నచ్చినవారితో ముచ్చటలాడుట
అచ్చముగ నింతెగాక నధికం బేమి

అందినవాటితో నానందపడలేక
నందనివాటికై యఱ్ఱులు జాచుట
తొందరించ నాశలు చిందులు త్రొక్కుట
వందమాట లేల వీడి బ్రతుకింతేలే

రామతత్త్వమున బుధ్ధి రమియింపదాయె
రామనామమా నోట రవళించదాయె
కాముని విడచి వీడు రాముని చేరుదాక
ఏమి చేసి యేమి లాభ మేది ముక్తి వీడికి


11, నవంబర్ 2017, శనివారం

రామ రామ యను మాట రాదేమో నానోట ఏమో ఆ కాలుడు నా కెదురుపడిన పూట


రామ రామ యను మాట రాదేమో నానోట
ఏమో ఆ కాలుడు నా కెదురుపడిన పూట

ఏమో ఏమేమో యగుచు నెంత కలత పడుదునో
ఏమీ యీ బంధుమిత్రు లేమైరని వగచెదనో
ఏమాత్రము దయలేని ఆ మొరటువాని గని
రామ రామ యనుదునో  యేమి పలికి చెడుదునో

తర్జని నాపైపు బరపు తరలుమనే వాని గని
గర్జించే వాని ముందు గర్వోక్తులు పనికి రాక
ఆర్జించిన ధనములిచ్చి ఆ యముని  కొన లేక
ధూర్జటినుత రామ నీవు తోచక నా మనసులో

విడువక నీ నామమునే వివిధవేదాంత వేద్య
అడియాసలు విడచి నే నుడివెద నను నిత్యము
గడచెద సంసారము కాని యెడల సంశయమే
వెడలువేళ నీ నామము వెడలుట నా నోట


మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 4. ఎన్ని రకాలుగా 3 x 3 చదరాన్ని నింపవచ్చును?


ఎన్ని రకాలుగా మనం ఒక 3 x 3 చదరాన్ని నింపగలం?

ఇది ఒక మంచి ప్రశ్న.

జవాబు ఒక్కటే. ఒకే రకంగా నింపగలం.

కాని మనకు 8 రకాలుగా నింపటం కుదురుతుంది అనిపిస్తుంది.

అలా రకరకాలుగా నింపితే వచ్చే ఫలితాలు ఇలా ఉంటాయి.


8 1 6
3 5 7
4 9 2
A
6 1 8
7 5 3
2 9 4
B
8 3 4
1 5 9
6 7 2
C
4 3 8
9 5 1
2 7 6
D
4 9 2
3 5 7
8 1 6
E
2 9 4
7 5 3
6 1 8
F
6 7 2
1 5 9
8 3 4
G
2 7 6
9 5 1
4 3 8
H


ఇలా 8 రకాలుగా తప్ప మరొకలా నింపటం కుదరదు!

ఐతే ఈ ఎనిమిదీ కూడా ఒకే అమరికను తిరగేసీ బోర్లేసీ రాబట్టినవే కాని కొత్తకొత్త వేమీ కానేకావు

A లో ఎడమ నుండి కుడివైపుకు ఉన్న నిలువు వరసలను కుడి నుండి ఎడమకు మార్చి క్రమం తప్పకుండా నింపితే అది  B అవుతుంది. అంటే A  ప్రక్కన అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం B అన్నమాట.

A లో పైనుండి క్రిందికి ఉన్న అడ్డు వరసలను క్రమం తప్పకుండా క్రింది నుండి పైకి వ్రాస్తూ నింపితే అది E అవుతుంది.  అంటే A  క్రింద అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం E అన్నమాట.

B లోని ఆడ్డువరసలను అలాగే తలక్రిందులు చేస్తే అది F అవుతుంది. అంటే B  క్రింద అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం F అన్నమాట. E  ప్రక్కన అద్దం పెడితే దానిలో కనిపించే ప్రతిబింబం కూడా F అవుతున్నది అన్న సంగతీ గమనించండి.

A లోని నిలువు వరసలు అడ్డువరసలుగా వ్రాస్తే అది C అవుతుంది.

A నుండి మనం B,E, F లను ఎలా రాబట్టామో అలాగే  C నుండి D,G, H లనూ రాబట్ట వచ్చును.

ఇలా మనకు కనిపించే మొత్తం 8 అమరికలూ కూడా ఒకే ఒక అమరికకు కేవలం పరిభ్రమణాలూ ప్రతిబింబాలూ తప్ప కొత్తవి ఏమీ కావు.

ఇంకా గమనించవలసిన అంశాలు ఒకటి రెండు ఉన్నాయి.

ఎప్పుడూ చదరం మధ్యగడిలో 5 మాత్రమే ఉండాలి.

నాలుగు మూలలా ఉన్నవి ఎప్పుడూ సరిసంఖ్యలే.


మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 3 (బేసి చదరం 5 x 5 బొమ్మలతో వివరణ.)


ఇప్పుడు 5 x 5 చదరం ఎలా నింపాలో బొమ్మల ద్వారా వివరిస్తున్నాను.


ఉన్నవి 5 x 5 = 25 గడులు.
మొదటి అడ్డు వరసలో మధ్య గడిలో 1 వేయాలి.
అది నిలువు వరసల్లో మధ్య వరస కూడా. గమనించండి.
    1
 
 

   


     
     
     


మొదటి నిలువు వరసలో ఇంక పైకి జరగటం కుదరదు కదా.
అందుకని అదే నిలువు వరసలో అట్టడుగుకు వద్దాం.
ఆ అడ్డువరసలో కుడి వైపుకు ఒక గడి జరిగి 2 ను ఉంచాలి.
    1
 
 

   


     
     
      2

కుడివైపుగా ఐమూలగా జరిగి 3 ను ఉంచాలి.
     1
 
 

   


     
       3
      2

ఇప్పుడు 4ని ఎక్కడ ఉంచాలి? పైకి ఒక గడి జరగటం కుదురుతుంది. కాని అక్కడ నుండి కుడివైపుకు జరగలేం. ఆ అడ్డువరసలో చివరనే ఉన్నాం కదా! అందుకని అదే అడ్డు వరసలో మొదటికి వచ్చి 4ను వేయాలి
      1
 
 

   
 4
     
       3
      2

కుడివైపుకు ఐమూలగా జరిగి 5 ను ఉంచాలి.
     1
 
   5
   
 4
     
       3
       2

కుడివైపుకు ఐమూలగా జరిగి 6ను ఉంచాలంటే అక్కడ అప్పటికే 1 ఉంది కదా.

అందుకని 5 క్రిందనే 6 వేయాలి.
     1
 
  5
   
4  6      
       3
       2

కుడివైపుకు ఐమూలగా జరుగుతూ 7ని 8ని కూడా వేయాలి.
 
 1 8  
  5 7    
4  6      
       3
       2

8 దగ్గర నుండి  పైకి జరగటం కుదరదు కాబట్టి నిలువు గడి అడుగుకు వచ్చి కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగి 9ని వేయాలి.

   1  8  
   5 7    
4 6      
      3
      2 9

10ని ఎక్కడ వేయాలో చూదాం.  ముందు 9నుండి పైకి ఒక గడి జరిగాం. కుడివైపుకు ఒక గడి జరగాలంటే ఎలా? గడులు లేవే! అందుకే  అదే అడ్డు వరసలో మొదటి గడికి వచ్చి 10ని ఉంచాలి.


  1   8  

  5 7    
 4  6      
10       3
       2 9

ఇప్పుడు పైకి ఒక గడి జరిగి కుడివైపు గడిలో 11 వేయాలంటే అక్కడ అప్పటికే 6 ఉంది. అందుచేత 10క్రిందనే 11ను వేయాలి.

      1   8  
     5 7    
4 6      
10        3
11      2 9

ఇంక 12 నుండి 15 దాకా సంఖ్యలను సులభంగా వేసెయ్యటమే. ఒక గడి పైకి - అప్పుడు - ఒకగడి కుడివైపుకు పోతూ చిక్కులేకుండా ఇది కుదురుతోంది.
     1 8 15 
   5 7 14   
4 6 13    
10 12    3
11      2  9

15 ఉన్నచోటనుండి ఒకగడి పైకెళ్ళితే అది అట్టడుగు గది అవుతుంది. (అక్కడ 9 ఉంది) ఆ గడినుండి ఒక గడి కుడివైపుకు వెళ్ళితే అక్కడ అప్పటికే 11 ఉంది కాబట్టి కుదరదు.
అందుచేత 15 ఉన్న గడికి క్రిందగడిలోనే 16ను వేయాలి. 
     1 8  15
  5  7  14  16
4  6 13     
10  12     3
 11     2  9

16 ఉన్న గడినుండి ఒక గడి పైకి వెడితే అది పై అడ్డుగడిలో చివరి గడి. కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగితే మనం మొదటి గడిలోకి వస్తాం. అక్కడ 17ను వేయాలి.
17
 1 8  15
  5  7  14  16
4  6 13    
10 12    3
11       2 9

17 ఉన్నచోటినుండి ఒకగడి పైకి అంటే ఆనిలువులో అట్టడుగు. అక్కడ నుండి కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగి 18ని వేయాలి
17   1  8 15 
   5 7  14 16
4
13      
10   12      3
11   18     2 9

ఇప్పుడు ఐమూలగా జరుగుతూ 19ని 20ని కూడా వేయాలి.
17     1  8  15
  5 7  14 16  
4 6 13   20    
 10 12   19   3
 11 18     2 9

20ఉన్న చోటినుండి ఐమూలగా ఇప్పటికే 16 ఆక్రమించింది. కాబట్టి 20 క్రిందనే 21ని వేయాలి.
 17   1 8 15  
  5 7 14   16  
4 6 13   20    
10   12   19   21  3
11   18     2 9

21 ఉన్నచోటికి ఐమూలగా 22వేయాలి.
17     1 8 15  
  5 7  14 16  
4 6 13   20   22  
 10 12   19   21  3
 11 18     2 9

22 ఉన్న చోటికి పైవరసలో కుడివైపు గడి అంటే ఆ వరసలో మొదటి గడి అవుతుంది. అక్కడ 23 వేయాలి.
17     1 8  15
23   5 7 14    16
4 6  13 20    22
10   12   19   21  3
11    18   2 9

23కు ఐమూలగా ఉన్న గడిలో 24ను వేయాలి.
17   24   1 8 15  
23   5 7  14 16  
4 6  13 20   22  
10   12   19   21  3
 11 18     2 9

24 ఉన్నచోటికి నిలువుగా పైకి జరిగితే అది ఆ నిలువు వరసలో అట్టడుగు అవుతుంది. కుడివైపుకు ఒక గడి జరిగి అక్కడ 25ను వేయాలి.
17   24   1 8 15  
23   57 14   16  
4 6 13   20   22  
10   12   19   21  3
11   18   25   2 9



అట్టే చిక్కులు పెట్టకుండానే చదరం పూర్తి అయ్యింది కదా?

సూత్రాలు కూడా సులువుగా ఉన్నాయి కదా.

* 1ని చదరం పైవరుస మధ్య గడిలో వేయటం
* అక్కడి నుండి ప్రతి సంఖ్యను వరుసగా ఐమూలగా కుడివైపున ఉన్న గడిలో వేసుకొంటూ పోవటం.
* పైకి జరగటానికి వీల్లేనప్పుడు నిలువుగడి అట్టడుగుకు రావటం
* కుడి వైపుకు జరగటానికి వీల్లేనప్పుడు అడ్డుగడి మొదటికి రావటం.
* కావలసిన గడిలో ఖాళీలేనప్పుడు కొత్త సంఖ్యను ముందటి సంఖ్యకు క్రింది గడిలో వేయటం.
అంతే అంతే!

ఈ విధంగానే 7,9, 11 వంటీ ఏ బేసి సంఖ్య చదరాన్నైనా సరే త్వరగానే నింప వచ్చును.

ప్రయత్నించి చూడండి మరి.

9, నవంబర్ 2017, గురువారం

మాజిక్ స్క్వేర్స్ - 2. (బేసి చదరాలు)


మాజిక్ స్క్వేర్స్ లేదా తమాషా చదరాల్లో రకాల గురించి తెలుసుకున్నాం. వాటిలో బేసి చదరాలు ఎలా నింపాలో ప్రయోగపూర్వకంగా చూదాం.

బేసి చదరాల్లో అతి చిన్నది ఒకే ఒక గడి ఉన్న చదరం.  దాన్ని నింపటం నింపకపోవటం అనేది సమస్యే కాదు కదా.

కాబట్టి బేసిచదరాలను 3 యొక్క చదరంతో మొదలు పెట్టి 3,5,7,9,11 ఇలా  ప్రతివరుసకు అన్నేసి బేసి సంఖ్యలో గడులున్న చదరాలనే చెబుతారు.

చిన్నది 3 x 3  చదరం కదా. మన ప్రయోగపూర్వక అభ్యాసం దానితోనే చేద్దాం.

మొదటి పని.

చదరం గీసి పైవరుస మధ్య గడిలో 1 వేయాలి.


1








ఇది అన్నిటికన్నా సులువు కదా!

కాని 1 మాత్రమే ఎందుకు వేయాలీ అన్న ప్రశ్న వస్తుంది. మనం చదరంలో 1 నుండి 3 x 3 = 9 వరకూ అన్ని సంఖ్యలనూ నింపాలి. అందుకని 1తో మొదలు పెడుతున్నాం.

రెండవపని.
తరువాతి సంఖ్యను వేయటానికి మనం ఒక మూలగా జరగాలి. అదెలాగూ అంటే క్రింది బొమ్మను చూడండి


Y

X





ఇక్కడ మనం ఉన్న చోటు X అనుకుంటే కొత్త చోటు Y అన్నమాట.
కార్యక్రమం ఏమిటంటే
మొదట పైకి ఒక గడి కదలాలి.
తరువాత కుడి ప్రక్కకి ఒక గడి కదలాలి.
అక్కడ మనం వేయదలచుకొన్న సంఖ్యను వేయాలి.
ఇలా చేయటంలో కొన్ని ఇబ్బందులు రావచ్చును.
ఒక్కోసారి పైకి కదలటానికి కుదరదు - మనం పైగడిలోనే ఉన్నప్పుడు. అప్పుడు అదే నిలువు వరసలో అట్టడుగు గడిలోనికి వెళ్ళాలి.
ఒక్కోసారు కుడివైపుకు కదలటానికి కుదరదు - మనం కుడివైపున చివరి గడిలో ఉన్నప్పుడు. అప్పుడు అదే అడ్డువరసలో మొదటి గడికి వెళ్ళాలి.
పై సూత్రాలు ఉపయోగించి మనం చేరుకున్న గడి ఖాళీగా ఉంటే ఇబ్బందిలేదు. హాయిగా వాడుకోవచ్చును.
మరి అది ఖాళీగా లేకపోతే, మన కదలిక అంతా రద్దు చేసుకొని తీరవలసిందే. ముందటి సంఖ్యకు దిగువన ఉన్న గడిలో మనం వేయదలచుకున్న తరువాతి సంఖ్యను వేయాలి.
ఇదంతా గజిబిజిగా అనిపిస్తోందా? కొంచెం సావకాశంగా మరో సారి చదువుకోండి. మరీ అంత కష్టం కాదు. ఐనా మనం ప్రయోగపూర్వకంగా చూస్తున్నాం విధానాన్ని, ఓపిక పట్టండి.
మనం 1 ని వేసి మొదలు పెట్టాం. 2ని ఎక్కడ వేయాలి అన్నది పై సూత్రాల ప్రకారం చేస్తే ఇలా తేలింది.


1






2

ఇలా ఎందుకు వచ్చింది? 1 వేసిన చోట అంతకన్నా పైగడి లేదు కాబట్టి అట్టడుగుకు వచ్చి కుడివైపుకు ఒకగడి జరిగాం. అక్కడ ఖాళీ ఉండనే ఉంది కాబట్టి 2ని అక్కడ వేసాం.

ఇప్పుడు 3ను ఎక్కడ వేయాలి అంటే పైకి జరగగలం కాని కుడివైపుకు జరగలేము! అప్పుడు అడ్డుగడిలో  మొదటికి వస్తున్నాము.

1

3




2

ఇప్పుడు 4ను వేయాలంటే నిలువుగా పైకి ఒక గడికీ అక్కడనుండి అడ్డుగా కుడికి ఒక గడికీ మారటం కుదురుతోంది.  కాని అక్కడ అప్పటికే అక్కడ 1 ఉందే.అ ఖాళీలేదు!  అందుకని పైన సూత్రంలో చెప్పినట్లుగా 3 ఉన్న గడికి క్రిందనే 4ను వేయాలి. అప్పుడు మన చదరం పరిస్థితి ఇది.


1

3


4

2

ఇప్పుడు 5ని వేయటానికి గాని 6ని వేయటానికి గాని ఇబ్బంది కలగటం లేదు. అవి కూడా వేసిన తరువాత చదరం ఇలా ఉంటుంది.

1
6
3
5

4

2

ఇప్పుడు 6కు క్రిందనే 7 వస్తుంది.  (ఒక్కసారి సూత్రాలు మననం చేసుకోండి).
మొట్టమొదటి గడిలోనికి 8 వస్తుంది.
ఆఖరు వరస మధ్య గడిలోనికి 9 వస్తుంది.

ఈ విధంగా పూర్తి ఐన చదరం ఇలా ఉంటుంది.
8
1
6
3
5
7
4
9
2

ఇదంతా సులభమైన వ్యవహారమే. కాని కొద్దిగా అవగాహనా అభ్యాసమూ అవసరం అంతే!  ఇంక 5 x 5 చదరం నింపటానికి ప్రయత్నించండి.